Weitere zum Kopfrechnen geeignete Basen

Ich hatte gestern das Tetradezimalsystem betrachtet, welches merkwürdigerweise noch von niemandem zum Kopfrechnen erwogen wurde, obwohl seine Multiplikationstabelle eine vernünftige Größe hat und man mit Hilfe der Quersumme leicht die Teilbarkeit durch 3, 5 und 13 überprüfen kann. Außerdem sind die Perioden der ersten Brüche erstaunlich kurz und die Nähe von 196 zu 200  erlaubt eine schnelle Größenabschätzung.

Was ich gestern noch hätte verbessern können, ist die Darstellung der einzelnen Ziffern durch positive Zahlen von 0 bis 13, denn es ließen sich auch Ziffern von -6 bis 7 verwenden, was die Multiplikationstabelle entschieden verkleinerte.

Ich werde dies im folgenden an noch größeren Basen als 14 vorführen.

Vigesimalsystem. Zur Primzahlbestimmung leicht ungeeigneter als die Basen 14 und 21 ist die Basis 20 wohl dennoch die praktischste Basis zum Kopfrechnen.

Bezeichnungen und Benennungen.

• 9: ohnneun
• 8: ohnacht
• 7: ohnsieben
• ...
• 0: null
• 1: eins
• 2: zwei
• ...
• Φ: zehn
• 10: zween
• 19: ohnneunzween (11₁₀)
• 29: ohnneunundzwanzwig (31₁₀)
• 2Φ: zehnundzwanzwig (50₁₀)
• 30: dreizwig
• 60: sechzwig
• 100: grandert
• 119: grandertohnneunohnzween (371₁₀)
• 121: granderteinohnzwanzwig (361₁₀)
• 1000: twausend

Multiplikationstabelle.

   1  2  3  4  5  6  7  8  9  Φ

1  1  2  3  4  5  6  7  8  9  Φ

2     4  6  8  Φ 18 16 14 12 10

3        9 18 15 12 11 14 17 1Φ

4          14 10 14 18 28 24 20

5             15 1Φ 25 20 25 2Φ

6                24 22 28 36 30

7                   29 34 33 3Φ

8                      34 48 40

9                         41 4Φ

Φ                            50

Das Vigesimalsystem erlaubt über die Quersumme, die Teilbarkeit durch 3, 7 und 19 zu prüfen. Größenabschätzung und Lernen der Multiplikationstabelle sind für Dezimalsystemgewöhnte keine große Herausforderung.

Unvigesimalsystem. Die beste handliche Basis für die Primzahlprüfung ist die Basis 21. Sie erlaubt die Quersummenprüfung für 2, 5 und 11. Außerdem werden alle Ziffern voll ausgenutzt, das heißt auch

• Φ: ohnzehn.

Freilich fällt die Größenabschätzung etwas schwerer. Die Multiplikationstabelle ist aber recht schön anzusehen. Namen möchte ich mir für diese Basis nicht ausdenken. Wer lieber im Unvigesimalsystem rechnet als im Vigesimalsystem, kann ja die dortigen Namen hier benutzen.

Multiplikationstabelle.

   1  2  3  4  5  6  7  8  9  Φ
 
1  1  2  3  4  5  6  7  8  9  Φ

2     4  6  8  Φ 19 17 15 13 11

3        9 19 16 13 10 13 16 19

4          15 11 13 17 2Φ 26 22

5             14 19 27 22 23 28

6                26 20 26 39 33

7                   27 37 30 37

8                      31 39 44

9                         43 46

Φ                            55

Wie man sieht, ist die Verwendung von Ohnziffern eine feine Sache, und es wäre gewiß nicht schlecht, wenn sie stadardmäßig von Programmiersprachen für das Hexadezimalsystem unterstützt würden, also beipielsweise $17553 statt $8AB3. Die bessere binäre Basis für die Primzahlprüfung ist aber das Oktalsystem, weil zwei seiner Ziffern die Basis 64 darstellen, welche die Teilbarkeitsprüfung für 3, 5, 7 und 13 erlaubt, genau wie beim Tetradezimalsystem, und wer es sich zutraut, kann auch die Multiplikationstabelle unter Verwendung von Ohnziffern für die Basis 36 auswendig lernen, welche wohl so eben noch im handhabbaren Bereich liegt. Die über die Quersumme unterstützten Primzahlen sind dabei 5, 7 und 37.