φ- und π-Funktion

Wie ich bereits sagte, gilt φ(Π_i≤n p_i) = Π_i≤n (p_i-1), wobei φ(N) die zu N teilerfremden Zahlen kleiner als N zählt, das heißt die Einheiten in Z_N, wohingegen π(N) die Primzahlen zählt, welche kleiner oder gleich N sind.

Nach dem Primzahlsatz gilt, daß π(N)log(N)/N für hinreichend große N gegen 1 konvergiert. Ich werde in diesem Beitrag zeigen, daß

1. der Anteil der Einheiten an Z_{Πi≤n pi}, für hinreichend große n gegen 0 konvergiert und daß
2. das Verhältnis des Anteils der Einheiten an Z_{Πi≤n pi}, zu 1/log(Π_i≤n p_i) für hinreichend große n gegen 1 konvergiert.

Ad 1. Es gilt:

∑_n>0 1/n = Π_p (∑_n≥0 p^-n) = Π_p p/(p-1)

und da erstere Reihe wie der Logarithmus mit wachsendem n gegen ∞ geht, tut es auch das letztere Produkt, so daß sein Kehrwert gegen 0 konvergiert.

Ad 2. Das Verhältnis von ∑_{i≤Πi≤n pi} 1/i zu log(Π_i≤n p_i) konvergiert gegen 1 und das von ∑_{i≤Πi≤n pi} 1/i zu Π_i≤n p_i/(p_i-1) auch, da die überschüssigen Potenzen der geometrischen Reihen mit steigendem n zunehmend weniger ins Gewicht fallen. Somit konvergiert φ(Π_i≤n p_i)log(Π_i≤n p_i)/(Π_i≤n p_i) gegen 1 und nach dem Primzahlsatz auch φ(Π_i≤n p_i)/π(Π_i≤n p_i), wobei es aufgrund der Tatsache, daß nur die p_i Primzahlen kleiner als Π_i≤n p_i sind, welche keine Einheiten in Z_{Πi≤n pi} sind und n gegenüber Π_i≤n (p_i-1) vernachlässigbar ist, trivial ist, daß φ(Π_i≤n p_i)/π(Π_i≤n p_i) nur Häufungspunkte größer oder gleich 1 haben kann.