Elementare Betrachtungen zur Verteilung der Primzahlen

100010 : 2 in 6 = 2*3

100000 100010 100010 100010 000010 : 8 in 30 = 2*3*5

-7; -19; -17; -1, -29; -13; -11; -23 aus jeweils 30 : 48 in 210 = 2*3*5*7

-0*30-11, -4*30-1, -4*30-23, -6*30-7, -6*30-29; -1*30-13, -3*30-19, -4*30-11, -6*30-17; -1*30-1, -1*30-23, -3*30-7, -5*30-13; -0*30-19, -1*30-11, -3*30-17, -5*30-1, -5*30-23; -0*30-29, -2*30-13, -4*30-19; -0*30-17, -2*30-1, -2*30-23, -4*30-7, -4*30-29, -6*30-13; -2*30-11, -4*30-17, -6*30-1; -1*30-7, -1*30-29, -3*30-13, -5*30-19, -6*30-11; -1*30-17, -3*30-23, -5*30-7, -5*30-29; -0*30-13, -2*30-19, -3*30-11, -5*30-17; -0*30-1, -0*30-23, -2*30-7, -2*30-29, -6*30-19 aus jeweils 210 : 480 in 2310 = 2*3*5*7*11

Damit verbundener Satz. In Z_2*3*5*...*p gibt es (2-1)*(3-1)*(5-1)*...*(p-1) invertierbare Elemente, oder gleichbedeutend so viele Elemente, welche weder durch 2, 3, 5, ... noch durch p teilbar sind.

Beweis. Es gibt einen Isomorphismus zu Z₂ x Z₃ x Z₅ x ... x Z_p, und zwar den durch (0₁, ..., 0_k, 1_k+1, 0_k+2, ..., 0_n) -> p₁*...*p_k*e_k+1*p_k+2*...*p_n, e_k+1=(p₁*...*p_k*1*p_k+2*...*p_n)^-1 mod p_k+1 gegebenen.

Wären die invertierbaren Elemente in Z_2*3*5...*p gleichverteilt, d.h. gäbe es bei der Aufteilung der Intervalle keine Divisionsrestphänomene, so wäre die Dichte (d) der Primzahlen in [p_n², p_n+1²) also durch (2-1)*(3-1)*(5-1)*...*(p_n-1) / 2*3*5*...*p_n gegeben.

d = 0,5; 0,333; 0,267; 0,239; 0,208; 0,192; 0,181; 0,171; 0,164; 0,158; 0,153; 0,149; 0,145; 0,142; 0,139; 0,136; 0,134; 0,132; 0,13; 0,128; 0,126; 0,124; 0,123; 0,122; 0,12; 0,119; 0,118;

wobei die erste Dichte für das Intervall [4, 9) und die letzte für das Intervall [10609, 11449) gelten würde.

Wenn wir die letzte Dichte auf Z₃₀ anwenden, so erhalten wir dort nur noch 3,54 an Stelle von 8 invertierbaren Elementen, und verliefe diese Reduktion wiederum gleichmäßig, so könnten wir im Intervall [10609, 11449) keine Primzahlzwillinge mehr finden.

Die Abweichung der lokalen Dichte invertierbarer Elemente in Z_2*3*5*...*p von der Gleichverteilung läßt sich abschätzen, insbesondere ist sie oszillierend: Fällt sie an einer Stelle stärker als sonst, so fällt sie an den höheren Primzahlvielfachen dieser Stelle schwächer als sonst und umgekehrt, was sich auch schon an den angegebenen Beispielen ablesen läßt, 5 (30) verliert am Rand, 7 (210) um die Mitte, 11 (2310) um die Mitte sehr wenig und in der Mitte sehr viel.

Das soll indes für's erste zu diesem Thema genügen, ich habe es auch nur aufgegriffen, weil ich mit dem Gedanken liebäugelte, von meiner Inspiration in unverfängliche Gefilde geführt zu werden. Selbst ein Garten verlangt weltliche Arbeit, wenngleich vergleichsweise wenig, eine konsequente Reduktion menschlicher Existenz auf das Schöne endete in einem mathematischen Autismus.