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28. Januar 2008

Vom subjektiven Auffassen der Gegenstände

Ich möchte hier nun einiges nachtragen, was ich zuvor offen gelassen habe. Wenn wir urteilen, zutrauen oder einordnen, fassen wir alle Gegenstände, welche es betrifft, auf, und als solche sind sie Teile eines erfaßten Ganzen. Von welcher Art aber kann ein solches erfaßtes Ganzes sein? Nun, es kann zum ersten eine spontane Auffassung einer Vielheit sein, etwa wenn wir die Finger an unseren Händen erfassen, es kann aber auch eine Auffassung einer Freizeit sein, also eine zweidimensionale Gliederung mit den Dimensionen Möglichkeit und Fortsetzung, wobei das, was wir Möglichkeit nennen, lediglich dieses Anordnungsschema ist, freilich mit der Tendenz zum Ausschluß dessen, was niemals eintritt. Also vermittelt uns auch diese Auffassung Begriffe, durch welche wir uns erst auf ihre Gegenstände beziehen können, wobei diese Gegenstände natürlich auch noch anderweitig aufgefaßt sein können, nur was Vielheit des Augenblicks und Freizeit, als Aneinanderreihung mehrerer möglicher Augenblicke, auszeichnet, ist ihre Subjektivität, durch welche sie universell anwendbar sind, da sich das Subjekt stets auf diese Weisen den Rahmen des ihm Begegnenden schafft.

Aus diesem Grund werden die objektiven Gegenstände also durch die beschriebenen Bildungen vertreten. Und wie die Gegenstände unseres objektiven Auffassens so auf jene Bildungen reduziert werden, werden auch die Verhältnisse zwischen ihnen auf Verhältnisse zwischen jenen reduziert. Dies sind aber nicht alle Formen subjektiven Auffassens, sondern nur jene, welche die Absicht der Begegnung der Gegenstände ausmachen, die übrigen dienen der Beschreibung unserer selbst, man kann hier vom Begegnungsrahmen sprechen, während es dort der Gewahrungsrahmen ist.

Wenn man sich nun dessen inne wird, was man auf eine bestimmte Weise zu leisten vermag, wie wir es uns über den beschriebenen Verhältnissen und Bildungen wurden, so ist der Begriff dieses Ganzen ein Begriff der Gewahrung und unser Zutrauen, zu einer jeden Formel das Verhältnis oder das Gebilde, für welches sie steht, nachvollziehen zu können, die Annahme einer Funktion, welche sich innerhalb des Begegnungsrahmens nicht vergegenständlichen läßt. Indem man diese gewahrten Gegenstände dem Formalismus hinzufügt, läßt sich seine Ausdruckskraft natürlich erweitern, nur, wieviel man auch erweitert, die Situation bleibt stets die selbe, stets können wir uns des so Leistbaren wieder inne werden und den Formalismus weiter erweitern. Es ist also eine Frage des persönlichen Geschmacks, wo man die Grenze ziehen will. Freilich verhält es sich damit aber so, daß der vorgestellte Formalismus für Fragen der Mathematik ausreicht, solange man nicht an Fragen der Formulierbarkeit durch ihn interessiert ist, in welchem Falle man wohl auf seine erste Gewahrungserweiterung ausweichen sollte, jedenfalls beruht der Fixpunktsatz zum Beweis der Gödelschen Unvollständigkeitssätze auf eben diesem Schritt.

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24. Januar 2008

Einige Definitionen

Um mit dem vorigen Formalismus warm zu werden empfiehlt es sich, einige übliche Konstruktionen nachzubilden. Da diese Konstruktionen auch übliche Bezeichnungen besitzen, welche ich nicht abändern möchte, werde ich die vorangestellte Regel von der Bezeichnung durch Majuskeln und Minuskeln großzügig zu Gunsten der etablierten Bezeichnungen auslegen, also sie nicht als lateinische Buchstaben betrachten. Vielleicht verwundert soviel Sinn für Tradition nach meiner beharrlichen Vermeidung gespiegelter „E“s und „A“s, nur kommt hier das Prinzip der Ehrfurcht zum tragen: Ehre, wem Ehre gebührt.
  • (((ι)λ(‚‘))J(ιⁱ))jⁱ❏(0( )) : Der Begriff der Leere
  • ((((ι)=(ιⁱ))J(ι²))Jⁱ(ι²) *0²))j²❏(1( )) : Der Begriff der Einheit
  • ((1((*=(ι)):(ιⁱ))J(ιⁱ))jⁱ❏(2( )) : Der Begriff der Zweiheit
  • ((2((*=(ι)):(ιⁱ))J(ιⁱ))jⁱ❏(3( )) : Der Begriff der Dreiheit usw.
  • (‚‘)j❏(0) : Eine Leere
  • (0+‚0‘)j❏(1) : Eine Einheit
  • (1+‚1‘)j❏(2) : Eine Zweiheit usw.
  • ((ι+‚ι‘)j...(1))jⁱ❏(N) : Die „natürlichen“ Zahlen
  • (({‚((ι)l(\ιⁱ/))j(ι²)‘})jⁱ❏(( )F))j²❏(F( )) : Der Funktionenraum zwischen zwei Räumen
  • ((‚(((ι)j(((Assoziation)*=):(ιⁱ)))jⁱ(((Assoziation)λ):(ι²))) j²((L(1)):(ι³))‘)j³((2)F⁴)))j❏(P( )) : Die Potenzmenge einer Menge
  • (((((ι)=(ι²))J((L(ιⁱ)):(ι³)))Jⁱ(((Assoziation)*λ):(ι²)))J²³)) j³❏(I( )) : Der Begriff der Injektivität einer Funktion
  • (((ι)j(((Assoziation)*λ):(ιⁱ)))jⁱ(ι²))j²❏(Im( )) : Das Bild einer Funktion
  • ((((I(ι) I(ιⁱ))J-((ι³)F²)))Jⁱ-((ι²)F³)))J²-(N+0)j³❏(Z( )) : Der Begriff der Zahl als endliche Vielheit
Diese Definitionen kratzen erst an der Oberfläche des Möglichen, insbesondere habe ich einen eher bequemen Weg gewählt, um dem Begriff der Zahl Form zu geben. Um ihn nämlich analog zur Einheit, Zweiheit usw. zu definieren, müßte man zunächst die Formelsprache selbst vergegenständlichen, um dann durch j... die jeweils nächste Formel zu bilden und schließlich die Menge dieser vergegenständlichten Formeln in Begriffe zu übersetzen. An dieser Stelle will ich aber auf diese vergleichsweise aufwendige Arbeit verzichten und statt dessen anmerken, daß „Assoziation“ als reservierter Gegenstand zu verwenden ist, wenn die obigen Definitionen sinnvoll sein sollen, und daß { } sowohl 0 sein kann, wenn nämlich keine Wahl möglich ist, als auch ‚0‘, wenn die einzig mögliche Wahl 0 ist, was insbesondere bei (0)F(1) und (1)F(0) eintritt.

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18. Januar 2008

Die Vergegenständlichung der Verständnisse

Wie bereits erwähnt gehören zu einer Verständnisform Verständniseinheiten und Verhältnisse, in denen sie zu einander stehen, und indem mehrere Verhältnisse zwischen verschiedenen Gegenständen einer Verständnisform zugleich vorgestellt werden läßt sich erfassen, auf welche Weise sich die Verhältnisse einer Verständnisform begleiten. Wenn genügend viele Begleitungsregeln erfaßt wurden, lassen sich aus ihnen unter Anwendung der logischen Schlußregeln weitere begleitende Verhältnisse ableiten. Offenbar ist dies gerade das Geschäft der Logik, damit die Verhältnisse aber auf die betrachteten Verständniseinheiten bezogen sein können, müssen jene auch vergegenständlicht werden und die Verhältnisse als Verhältnisse zwischen diesen Gegenständen ausgedrückt. Dieses geschieht nun derart, daß die Verständniseinheiten als Teile eines bildbaren Ganzen vergegenständlicht werden und die Verhältnisse mit dem Teilsein im Ganzen ihres jeweiligen Abdrucks derjenigen Gegenstandspaare, für welche sie bestehen, gleichgesetzt, wobei Begriffe entsprechend mit dem Teilsein in ihrem jeweiligen Abdruck ihrer Inbegriffe gleichgesetzt werden. Diese Fixierung auf Ganze und das Verhältnis des Teilseins hat der Grundlegung der heutigen Mathematik also den Namen „Mengenlehre“ eingebracht, es handelt sich dabei aber um die natürliche Vergegenständlichung der Verständnisse, welche aller Logik zu Grunde liegt.

Wenn nun jemand Verhältnisse zwischen Gegenständen der objektiven Anschauung folgert, so erfäßt er letztere auch durch die Begriffe ihrer Begegnung, im einfachsten Fall durch „ersteres“ und „letzteres“ wie in diesem Satz. Wer sich mit diesem Thema beschäftigt findet bald auch sämmtliche Begegnungsbegriffe, und es soll mir an dieser Stelle genügen sie lediglich vorzustellen, wobei sie zu zwei verschiedenen Zwecken verwendet werden, nämlich zur Bildung von Ganzen durch Vorstellung und zu Aussagen über solche Gebilde.

Kommen wir nun aber zur Modellierung. Zunächst einige willkürliche Entscheidungen. Verhältnisse, Begriffe und Aussagen seien, sofern sie durch lateinische Buchstaben bezeichnet sind, durch Großbuchstaben bezeichnet, Ganze und Bildungen von Ganzen hingegen durch Minuskeln. Die verwendeten Zeichen sind, mit wenigen Ausnahmen, als Piktogramme zu deuten und niemals als Initialen. Die unmittelbare Verwendungen von Verhältnissen, Begriffen oder Aussagen in Bildungen von Ganzen oder einen von ihnen selbst ist untersagt, es müssen zunächst ihnen entsprechende Ganze, beispielsweise wie oben beschrieben durch Abdrücke, gebildet werden, welche dann statt ihrer zu verwenden sind. Den Kern einer Aussage bildet ein Verhältnis, die Gegenstände, zwischen welchen es besteht, werden in runden Klammern eingeschlossen links und rechts von ihm angeschlossen. Textersetzungen (j❏) sind nicht Teil des eigentlichen Modells und können somit weder in Aussagen noch Bildungen als solche Gegenstand sein, sie können allerdings ebenfalls vergegenständlicht werden.

Nachdem dieses also festgelegt wurde, hier die Tabelle der Verhältnisse und Bildungen.

Verhältnisse
  • (a)λ(b) : Gebilde a ist Teil von Gebilde b
  • (A(ι))J(b) : Jeder Teil ι des Ganzen b ist auch in A inbegriffen
  • (a)=(b) : Gebilde a ist gleich Gebilde b
  • *λ, *J, *= : Verneinungen der Verhältnisse
  • (A(ι))J-(b) : Abk. für (*A(ι))*J(b) : Es gibt einen Teil ι des Ganzen b, welcher in A inbegriffen ist
  • (a|b)λ(c) : Abk. für (a)λ(c) (b)λ(c) (a)*=(b)
  • (a)L : Abk. für (‚Assoziation a‘)λ
  • L(b) : Abk. für (b
  • (a)L(b) : Abk. für (a)L L(b) : Gebilde b ist Gebilde a zugeordnet
Bildungen
  • a b‘ : Das von den Teilen a und b gebildete Ganze
  • (A):(b) : Das von den Teilen des Ganzen b, welche Inbegriffe von A sind, gebildete Ganze
  • (a(ι))j...(b) : Das von den Gebilden der Bildung a des jeweils vorhergehenden Gebildes ι schrittweise aus dem Anfang b gebildete Ganze
  • \a/ : Ein willkürlich gewählter Teil des Ganzen a
  • {a} : Das Ganze aller willkürlichen Wahlen für das Gebilde a (nur in Verbindung mit einem ihm durch einen Index zugeordneten \ / im Ausdruck für a)
  • (a)l(b) : Abk. für ‚‚Assoziation ab
  • (a(ι))j(b) : Alternative für {a(\b/)} : Das von den Gebilden der Bildung a der Teile ι des Ganzen B gebildete Ganze
  • a+b : Abk. für ((ι)j(ιⁱ))jⁱ(‚a b‘) : Die Vereinigung der Ganzen a und b
  • (((ι)A(ιⁱ))j❏(( )B))jⁱ❏(B( )) : Das Verhältnis B wird im Text durch das Verhältnis A ersetzt
Konjunktionen werden wie bisher durch eine leere Stelle bezeichnet, sofern sie zwischen Begriffen oder Aussagen liegt. Wie man sieht bietet der Formalismus nicht die Möglichkeit die Disjunktion zweier Aussagen zu bilden, was aber keine Einschränkung ist, da eine Disjunktion auch erst bei Begleitungen sinnvoll wird, für welche man sie bilden kann: (A(ι))J((*B):(c)). Wenn { } verschachtelt auftritt, so wird das Ganze als vereinigtes Ganze aller Bildungen gebildet. Wenn abgestuft werden soll, so muß dies explizit durch ‚ und ‘ geschehen.

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