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26. April 2009

Von der Entstehung der Welt

Ich werde hier das Wesen der Transzendenz noch einmal aufrollen und hoffentlich zu einer geschlosseneren Darstellung gelangen.

Die Welt ist, weil es eine Kraft gibt, welche sie sein läßt.

Der Grund, aus welchem diese Kraft die Welt sein läßt, besteht darin, daß es ihr gefällt Verstreutes zu sammeln und in Verbindungen zu überführen. Genauer gesagt ist ihr Wesen dual, sie zerstreut sich zunächst, um sich dann zu sammeln, bis sie einen Punkt erreicht, an welchem sie sich genügt und das Erreichte vergißt. Ob sie danach von neuem anfängt oder nicht, kann also niemand wissen.

Zunächst begnügte sich diese Kraft damit, Verbindungen zu schaffen, welche sich gesetzmäßig auflösen und wieder bilden, je nachdem, wie sie unter einander zusammenkommen. Eine Welt war geschaffen, welche aus der Mischung zur Ordnung strebte und sich von dort wieder in der Mischung verlor, um wieder zur Ordnung streben zu können.

Anschließend erschuf diese Kraft Leben, also Verbindungen, welche ihrer Auflösung nicht neutral gegenüberstehen. Vielmehr dient die Bewertung der eigenen Existenz dieser Kraft dazu, neue Verbindungen zu bilden, welches sie zuvor rein aus sich heraus bewerkstelligte. Somit war eine Welt geschaffen, welche aus Willkür zu Rücksicht strebt, um dann in ihr zu erstarren, wodurch der Willkür wiederum Platz geschaffen wird.

Wenn wir etwas wertschätzen beeinflussen wir dadurch, was einst sein wird. Dieses findet sowohl innerhalb des Potentials eines Lebewesens statt, sofern sein Verhalten flexibel ist, als auch die Grenzen zu neuen Lebewesen überschreitend, wobei sich Potential hier auf die Form des Bewußtseins des Lebewesens bezieht.

Damit aber eine solche Beeinflussung Sinn macht, müssen wir notgedrungen auch das beeinflussen können, was schon existiert, also jene beiden Welten. Sich dieser Beeinflussungen deutlich bewußt zu werden stellte einen möglichen Übergang des Menschen zum Weltenmittler dar, welcher meines Erachtens der wahrscheinlichste Übergang ist.

Alles in allem können wir die Welt also auf drei transzendente Weisen beeinflussen, nämlich erstens nach Mischung oder Ordnung streben, zweitens nach Willkür oder Rücksicht und drittens nach neuer Verbindung oder Beibehaltung der alten, wobei dies alles auf seine gemäßen Ziele gerichtet ist, also Objekte jener beiden Welten und wertgeschätzte Verbindungen.

Wir, als Lebewesen, befinden uns dabei im mittleren Zyklus, abhängig vom Zyklus der Mischung und Ordnung und selbst Grundlage des Zyklus der Zerstreuung und Verbindung.

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19. April 2009

Vom Lösen von Polynomen durch Wurzeln

Wenn ich hier etwas Galoistheorie vorstelle, dann nur, um an diesem Beispiel zu zeigen, was die Form eines mathematischen Gedankenganges ist.

Um sich darüber klar sein zu können, wie man ein Polynom wohl durch Wurzeln auflösen könne, sollte einem zunächst einmal bekannt sein, daß seine Koeffizienten durch die elementarsymmetrischen Funktionen seiner Lösungen gegeben sind. Das erlaubt einem nämlich erst, das Problem in seiner allgemeinen Form als die Darstellung der Lösungen v1, ... , vn durch die Koeffizienten u1, ..., un zu formulieren, wobei die betrachteten Polynome normiert sind und der höchste Koeffizient somit unterschlagen werden kann.

Diese Darstellung sucht man durch die Grundrechenarten in einem algebraischen Erweiterungskörper von Q(ui), wobei die Erweiterung sukzessive durch Wurzeln zu erfolgen hat und schließlich mit Q(vi) übereinstimmen muß.

Diesen Teil eines mathematischen Gedankenganges bezeichnet man gemeinhin als Ansatz, von welchem die Lösungsidee ausgeht. Und diese besteht hier darin, die Zwischenkörper auf dem Weg zu Q(vi) als die Invarianzmengen von Untergruppen der Automorphismen von Q(vi), welche Q(ui) invariant lassen, zu identifizieren. Dabei ist es zunächst nicht klar, daß jeder Zwischenkörper tatsächlich die Invarianzmenge einer solchen Untergruppe ist, aber hoffen kann man ja. Was man allerdings von Anfang an weiß, und worum man dieses auch nur tut, ist, daß man die betreffenden Automorphismengruppen sehr gut kennt und anhand von ihnen ohne weiteres Elemente finden wird, welche in dem zugehörigen Zwischenkörper liegen, ja sogar ein einzelnes Element, dessen Adjunktion ihn erzeugt.

Offenbar ist dieses letztere Element der Schlüssel zu den weiteren Schritten, da jeder Rekurs auf seinen Zwischenkörper durch es ausgedrückt werden kann.

Damit aber ein Zwischenkörper durch Adjunktion einer Wurzel entstehen kann, wobei wir jetzt bequemerweise Q von Anfang an um die Einheitswurzeln des entsprechenden Grades erweitert hatten, ist es notwendig und hinreichend, daß seine Automorphismengruppe ein Normalteiler der vorangegangenen Automorphismengruppe ist und die zugehörige Faktorgruppe zyklisch, denn bräche man nach diesem Schritt ab, so wäre die Automorphismengruppe dieser unvollständigen Erweiterung zyklisch vom Grade der Wurzel, nämlich durch die Multiplikation mit den Potenzen einer primitiven Einheitswurzel dieses Grades gegeben, und zu der erwähnten Faktorgruppe isomorph, da die Wurzeln nur zu einander konjugiert sind und die Einschränkung der Gesamtautomorphismen auf den Zwischenkörper über der Faktorgruppe wohldefiniert und injektiv und aufgrund der Fortsetzbarkeit von Automorphismen auch surjektiv ist.

Damit also die Auflösung gelingen kann, muß sich die Symmetrische Gruppe über n Elementen zyklisch dekomponieren lassen. Für n=2 ist das trivial, da die Symmetrische Gruppe dann selbst zyklisch ist. Für n=3 kann man zunächst auf die Alternierende Gruppe hinabsteigen, welche durch { (1), (123), (132) } gegeben ist, also durch die Rotationen, und somit selber zyklisch ist von der Ordnung 3. Für n=4 ist es etwas komplizierter und für n>4 unmöglich.

Betrachten wir im folgenden den Fall n=3. Offenbar kann man durch eine geeignete Translation u1=0 erzwingen. Es bleibt u2=v1v2+v1v3+v2v3 und -u3=v1v2v3. Wir suchen nun einen Ausdruck in den vi, welcher durch Rotationen nicht geändert wird, durch die übrigen Permutationen hingegen schon und dessen Quadrat auch durch jene nicht geändert wird. Der Ausdruck muß also sein Vorzeichen ändern und darf sonst nichts. Nun, wenn jede Vertauschung zweier Variablen zu einer Vorzeichenänderung führen muß, zwei solche Vertauschungen zusammen aber nicht, da sie ja die Rotationen ergeben, so wird man wohl von alleine darauf kommen, daß das Produkt der Differenzen je zwei verschiedener Variablen zu betrachten ist, und der Einfachheit halber wird man die Variablen dabei vielleicht sortieren wollen, also hier (v1-v2)(v1-v3)(v2-v3) betrachten.

Das Quadrat dieses Ausdrucks ist symmetrisch und also durch u2 und u3 ausdrückbar, genauer gesagt läßt sich diese Darstellung sogar berechnen und ganz ohne Raffinesse, dafür allerdings mit um so mehr Schweiß, das Ergebnis jedenfalls ist -4u2u2u2-27u3u3 und die quadratische Wurzel daraus erzeugt den ersten (und einzigen) Zwischenkörper.

An dieser Stelle beschließe ich zumindest vorläufig diese Vorstellung, auswerten werde ich sie so oder so zu einem späteren Zeitpunkt noch.

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11. April 2009

Orden und Stände

Wenn man Organisationen betrachtet, so wird es sinnvoll sein, sie danach zu unterscheiden, ob ihre Mitglieder Macht besitzen und Einverständnis suchen oder Einverständnis besitzen und Macht suchen. Im ersteren Fall spreche ich von einer Gesellschaft, im letzteren von einem Orden.

Offenbar verfügen wir alle Macht über unseren Körper und daraus resultiert, daß es stets eine Grundgesellschaft gibt, nämlich die Gesellschaft der Bürger dieser Erde, wenn man sie so nennen möchte. Wenn nun aber in einem Staat verschiedene Freiheiten erst erworben werden müssen, so bildet sich für jede dieser Freiheiten wiederum eine Gesellschaft, eben jener, welche über diese Freiheit und damit auch über eine bestimmte Macht verfügen. Diese Gesellschaften nun nenne ich Stände.

Im folgenden wird es mir um eine Gegenüberstellung von Ständen und Orden gehen und auch um ihren Einfluß auf einander.

Beginnen wir mit letzterem. Eine ständisch gegliederte Gesellschaft verhindert proportional zum Grad ihrer Untergliederung die Bildung von Orden, ganz einfach deswegen, weil Ordensmitglieder höherer Stände gemäß der Ordensausrichtung auf den Aufstieg von Ordensmitgliedern niederer Stände hinwirken müßten, dabei aber in Interessengegensatz zu ihren Standesmitgliedern gerieten, welches sich unvorteilhaft für ihre Standesmitgliedschaft auswirkte. Ein Orden, welcher seiner inneren Verpflichtung getreu bestehen möchte, muß sich also in einem ständischen Staat ausschließlich aus Mitgliedern eines Standes speisen und verliert mit der Größe des Standes somit an Relevanz. Aus diesem Grunde werden Verfechter von Ordensstrukturen Standesstrukturen also zu beseitigen suchen. Umgekehrt stellen Orden ganz offensichtlich, wie auch schon erwähnt, eine Bedrohung von Standesinteressen dar, indem sie ja naturgemäß nicht auf Mitglieder eines Standes beschränkt sein werden und somit ihren Mitgliedern Vorteile auf Standeskosten zu verschaffen trachten werden. Entsprechend feindselig sind auch die Verfechter von Standesstrukturen Ordensstrukturen gegenüber eingestellt.

Wie sich Stände gliedern ist hinreichend klar. Ein paar Worte zur Gliederung verschiedener Orden unter einander. Orden werden um so kooperativer unter einander sein, je weniger ihre Betätigungsfelder zusammenfallen und auch um so kooperativer, je ähnlicher ihre Grundüberzeugungen sind. In solchen Fällen können sie Überorden bilden, in welchen sämtliche Mitglieder in bestimmten Belangen gleichberechtigt behandelt werden. Verfeindeten Orden bleibt bei gleichen Ansprüchen hingegen nur der Auslöschungskrieg.

Stände haben, wie gesagt, Freiheit oder Macht zu vergeben, Orden hingegen Beteiligung an ihrem Werk. Stände werden im Gegenzug zur gewährten Freiheit zunächst einmal Dienst einfordern, und müssen das auch, weil sie ohne diesen Dienst in den seltensten Fällen überhaupt Macht besäßen, und schulen ihren Nachwuchs für diesen Dienst. Orden hingegen ertüchtigen ihren Nachwuchs, damit er die Aufgabe des Ordens zu meistern in die Lage versetzt wird und überlassen ihm hernach Verantwortung für einen Teil ihres Werks.

Ob jemand Ständen oder Orden zuneigt, läßt sich dem vorigen gemäß in der Tat daran ersehen, ob jemand leben als Freiheit oder als Beteiligung auffäßt. Freilich, es kommt für den Einzelnen natürlich sehr darauf an, welche Freiheit oder welche Beteiligung er anstrebt, und diesbezüglich sollte man wahrscheinlich auf den entarteten Fall eines Ordens hinweisen, dessen Werk ausschließlich in der materiellen Besserstellung seiner Mitglieder besteht, welche er faktisch nur auf kriminellem Wege erreichen können wird, da er über das, was er verspricht, nicht verfügt und es somit entwenden muß. Daß ein Orden das Recht besitzt, frei über das zu verfügen, woran er zu beteiligen verspricht, wird man getrost als Kriterium seiner Lauterkeit verwenden können.

Nun, es ist natürlich kein Geheimnis, daß ich Orden zuneige. Somit stellt sich für mich die Frage nach dem Werk des Ordens, welchen ich zu gründen beliebe. Eine Komponente wäre sicherlich die Bewahrung von Kultur, also einerseits geistiger Fähigkeiten und andererseits eines Verständnisses menschlicher (individueller) Verantwort, und die andere bestünde in der Gestaltung innerordenlicher Kooperation.

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6. April 2009

Beleuchtung eines Streites zwischen Immanuel Kant und Arthur Schopenhauer bezüglich der Dummheit der Masse des Volkes

Ich habe zuletzt darüber nachgedacht, wie sich emotionale und intellektuelle Unabhängigkeit etwas systematischer erfassen ließen und bin dabei auf das Urteilen gekommen, daß es mehr als eine Art zu urteilen gibt.

Nun meine ich damit nicht eine Unterscheidung der Urteile, wie sie Arthur Schopenhauer vorgenommen hat. Es geht eher um folgendes, einen Punkt, in dem sich Schopenhauer bemüßigt fühlte, Kant auf das Schärfste zu widersprechen. Kant meinte nämlich, daß die Masse des Volkes dumm sei, weil sie keine abstrakten Begriffe benutze, sondern stets nur über konkrete Sachverhalte urteile, während Schopenhauer meinte, daß jeder Tropf aus abstrakten Begriffen folgern könne, es aber Verstandes bedürfe, um über einen konkreten Gegenstand ein zutreffendes Urteil zu fällen.

Machen wir es kurz. Beide haben Recht, wobei Kant das meint, was ich mit intellektueller Unabhängigkeit meine. Schopenhauer, in seinem Widerspruch, läßt nämlich einen Sachverhalt weg, und zwar den wichtigsten überhaupt, daß man sich seine abstrakten Begriffe selbst erarbeiten muß, daß sie einem nicht gegeben werden.

Emotionale Unabhängigkeit ergibt sich daraus, daß man bezüglich seines Seelenfriedens in der Lage ist, sichere konkrete Urteile zu treffen. In diesem und anderen Bereichen sichere konkrete Urteile treffen zu können ist aber nur die Voraussetzung dafür, sich einen Begriffsschatz zu erarbeiten, welchen man dazu verwenden kann, Fragen im allgemeinen durchzuspielen. Dabei kommt es sehr darauf an, daß man genau hinsieht und scharfe Begriffe und Regeln verwendet, also z.B. ob einem Homogenität auffällt und die sich daraus ergebende Linearität, denn es macht einen großen Unterschied in bezug auf die Lösung allgemeiner Fragen, ob ich nur weiß, daß größer gleich schwerer bedeutet oder ob ich weiß, daß Größe und Schwere exakt proportional sind. Letzteres engt die Menge möglicher Zusammenhänge offensichtlich viel stärker ein und erlaubt somit öfter eine Entscheidung über die Möglichkeit eines abstrakten Sachverhaltes.

Dieses aber zu tun, sich einen derartigen Begriffsschatz anzulegen, ihn zu entwickeln und zu warten, das habe ich intellektuelle Unabhängigkeit genannt.

Und bei der Unterscheidung der Urteile darf hier nicht das Urteil isoliert betrachtet werden, also ob es ein konkretes oder ein abstraktes ist, ein anschauliches oder ein begriffliches, ein synthetisches oder ein analytisches, sondern es muß mit ihm das betrachtet werden, worauf es fußt, nämlich im zweiten Falle der Begriffsschatz, dann wird hinreichend klar, daß Kant gänzlich richtig liegt und Schopenhauer in diesem Punkt etwas rechthaberisch ist.

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