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28. Juli 2009

Verstreutes

Definition 1. Eine ganze Zahl z heiße vollquadratisch in Zn, n natürlich, wenn es mindestens eine Quadratwurzel von z in Zn gibt und z zur Einheitengruppe von Zn gehört.

Lemma 1. Sei z eine ganze Zahl, p und q zwei natürliche Zahlen, p ungerade und z vollquadratisch in Zp und Zq. Dann ist z auch vollquadratisch in Zpq.

Beweis. Sei zunächst (p,q)=1, wp eine Wurzel von z in Zp und wq eine Wurzel von z in Zq, dann ist wqap+wpbq, mit a, b so, daß ap+bq=1, eine Wurzel von z in Zpq, denn (wqap+wpbq)² = z(a²p²+b²q²) = z(ap+bq)² = z in Zpq, wobei wir ausgenutzt haben, daß zwei ganze Zahlen in Zpq genau dann übereinstimmen, wenn sie in Zp und in Zq übereinstimmen.

Sei nun q ein Vielfaches von p und wq eine Wurzel von z in Zq. Trivialerweise ist dann wq auch eine Wurzel in Zp. Wir betrachten die Werte nq+wq in Zpq. Es gilt (nq+wq)² = 2nqwq+wq². Sodann betrachten wir das mögliche Verschwinden der Differenzen 2nqwq-2mqwq = 2(n-m)wqq. Dieses verschwindet genau dann, wenn 2(n-m)wq in Zp verschwindet. Da p ungerade ist, ist 2 kein Nullteiler, ebensowenig wie wq, wobei wir es als bekannt voraussetzen, daß die Einheitengruppe in Zp durch die teilerfremden Zahlen zu p gegeben ist. Also muß (n-m) verschwinden. Da aber m und n von vornherein kleiner als p gewählt wurden, muß n=m sein und damit nimmt (nq+wq in Zpq p verschiedene Werte an. Einer von diesen ist z, da 2nwq sämtliche Werte in Zp durchläuft.

Sei schließlich (p,q)=s und p'=p/s, q'=q/s. Es gilt (p',s)=1 oder (q',s)=1, s ist ungerade und z ist in Zp', Zq' und Zs vollquadratisch. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei (p',s)=1. Dann wenden wir das zuvor bereits Bewiesene auf s und q an, erhalten also, daß z in Zqs vollquadratisch ist. Anschließend wenden wir es auf p' und qs an und erhalten wie gewünscht die Aussage für Zpq.

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1. Juli 2009

Zusammenhänge

In diesem Beitrag wird es um die menschliche Existenz als Ganzes in allen ihren wesentlichen Facetten gehen.

Unsere Existenz ist bedingt durch die Einwirkung der Welt auf uns (Kausalität), die Angewiesenheit unseres Willens auf weltliche Gegenstände (Funktionalität) und die Veränderlichkeit unserer Verfassung (Fluidität).

Unsere Verfassung besteht zum einen aus unserer organischen Verfassung, zum zweiten aus unseren feststehenden Bemühungen, also unseren Gewohnheiten, und zum dritten aus unseren Begriffen. Unser Gedächtnis, welches sie zum vierten ausmacht, spielt im weiteren keine Rolle. Übrigens, wenn ich hierbei von organischer Verfassung rede, so meine ich damit nicht unsere physikalische Verfassung, sondern Umfang und Gesundheit des uns tragenden Organs, wie sie sich uns darstellen.

Unser Wille entzieht sich unserer Beeinflussung und gehört aus diesem Grund nicht zu dieser Art Verfassungen. Er entspringt entweder aus unserem Gefallen am Geschehen, aus unserem Gefallen an unseren Verhältnissen zu anderen oder aus unserer Gewißheit in unseren Absichten.

Und diese letzteren drei geben uns zugleich über unsere Bedingtheit Aufschluß, das Gefallen am Geschehen über die Kausalität, das Gefallen an den Verhältnissen zu anderen über die Funktionalität und die Gewißheit in den Absichten über die Verfassung. Wir reagieren dabei auf unsere Bedingungen, indem wir den Teil unserer Verfassung verwenden, welcher sich in uns als Antwort auf sie gebildet hat, die organische Verfassung als Antwort auf die Kausalität, die Gewohnheiten als Antwort auf die Funktionalität und die Begriffe als Antwort auf die Fluidität.

Die Tätigkeit eines Menschen ist nun nur in sofern relevant, als sie die Verfassung von anderen Menschen beeinflußt. Die Verfassung eines Menschen kann dabei nur gemäß den Formen seiner Bedingtheit beeinflußt werden, kausal durch die physische Umgestaltung der Welt, funktional durch die Etablierung neuer Sitten und fluidal durch einen von drei Akten, gemäß den drei Formen unserer Verfaßtheit, nämlich durch Fortpflanzung, sofern es unsere organische Verfassung betrifft, durch Bekehrung, sofern es unsere Gewohnheiten betrifft und durch Hinweisen, sofern unsere Begriffe betroffen sind.

Neben diesen fünfen gibt es wie gesagt noch die drei transzendentalen Akte, welche ebenfalls den Formen der Bedingtheit gemäß sind, also die Wahlen zwischen Ordnung und Mischung, Achtsamkeit und Willkür, sowie zwischen Verbindung und Auflösung. Diese betreffen aber nicht die Verfassung eines Menschen im obigen Sinn, sondern den eigens zum Zwecke dieser Unterscheidung von ihr abgetrennten Willen, welcher bezüglich der Form der Fluidität, also bezüglich der Wahl zwischen Verbindung und Auflösung, auch wieder dreifach zerfällt, nämlich wie oben beschrieben in Gefallen am Geschehen, Gefallen an Verhältnissen zu anderen und der Gewißheit in den Absichten.

Bezüglich der drei Entwicklungszyklen ist lediglich festzuhalten, daß die Form der Bedingtheit den Zyklus bestimmt, in welchem ein Schritt gemacht wird. Dabei ist es gleich, ob der Wille oder die Verfassung betroffen ist. Ein Schritt in einem höheren Zyklus bedeutet eine Revolution in den niedrigeren Zyklen. Insbesondere kommt es also zu den folgenden kulturellen Revolutionen, der biologischen Revolution, der religiösen Revolution und der wissenschaftlichen Revolution, sofern die Verfassung betroffen ist. Im Falle des Willens ist in jedem Unterfall von einer geistigen Revolution zu sprechen.

Die Dreifaltigkeit des Willens ist, wie bereits gesagt, mit der Dreifaltigkeit der Bedingtheit dadurch verbunden, daß sie Aufschluß über letztere gibt und zugleich mit der Dreifaltigkeit der Verfaßtheit, indem sie Taten anstößt, welche sich auf ihre Teile stützen. Diese Taten sind aber nicht mit Tätigkeiten gleichzusetzen, eine einzelne Begriffsklärung liefert noch keinen Hinweis für den Rest der Menschheit, eine Angewöhnung etabliert noch keine neuen Sitten und aus dem Regen ins Trockene zu fliehen gestaltet die Welt noch nicht physisch um. Auch muß nicht jeder Anstoß direkt sein. Wenn Begriffe und Gewohnheiten stimmen, schlägt jeder Anstoß mittelbar in physische Taten durch, da Begriffe so geformt werden, daß sie den Weg weisen, die eigene Verfassung wunschgemäß zu ändern und Gewohnheiten so, daß sie die nötigen Bemühungen aufnehmen. In dem Fall handelt der Angestoßene konsequent. Und umgekehrt, wenn einer physischen Tat eine Gewohnheit oder eine Begriffsunklarheit im Wege steht, handelt er vorbereitend.

Kommen wir nun zu den fünf Schicksalen der Menschen und wie sie mit den angesprochenen Tätigkeiten zusammenhängen. Die Erhalter gestalten die Welt physisch um, die Gestalter etablieren neue Sitten, die Missionare bekehren und die Entwickler und Verkörperer hinterlassen der Welt Hinweise zum Verständnis. Außerdem spielen Verkörper ihre transzendente Rolle bewußt.

Und schließlich zu den Abschlußpunkten des Bewußtseins. Wahrnehmung, Vorstellung, Verständnis und Selbstverständnis stellen unterschiedliche Rahmen geistiger Aktivität dar, wobei Verständnis die Reflexion von Wahrnehmung oder Vorstellung ist und Selbstverständnis zusätzlich die Reflexion des Willens einschließt. Ein Erhalter wird im Rahmen der Wahrnehmung motiviert, was allerdings nicht direkt geschehen muß, sondern auch mittelbar als Konsequenz geschehen kann, wobei ihm dies nur in sofern klar sein wird, als er wüßte, daß er entweder im Einklang mit sich selbst oder anderen handelte. Ein Gestalter wird im Rahmen der Vorstellung motiviert, wobei Vorstellung und Sitten untrennbar mit einander verbunden sind, da eine Vorstellung ohne Verständnis nur Sitten dienen kann und letztere erstere voraussetzen. In diesem Fall ist es offenbar derjenige, dessen Wille sich an seinen Verhältnissen zu anderen entzündet, welcher hier direkt motiviert wird und es ist die Vorstellung, welche ihm den Weg weist, wie er schließlich an sein Ziel, nämlich die Etablierung neuer Sitten, gelangen könne. Aber auch hier mag einer wieder mittelbar durch Konsequenz motiviert sein und ebenso durch Vorbereitung, wobei ihm das letztere in sofern klar wäre, als er wüßte, daß die neuen Sitten etwas außerhalb ihrer abwürfen, was ihm gefiele. Missionare und Entwickler werden im Rahmen des Verständnisses motiviert, allerdings über unterschiedlichen Gegenständen. Beim Missionar ist es die Einsicht in die Ungemäßheit einer Gewohnheit, welche ihn antreibt, beim Entwickler ist es die mangelnde Klarheit eines Umstandes. Die direkte Motivation ergibt sich in beiden Fällen aus der mangelnden Gewißheit der Absicht Gewohnheit, bzw. Begriff zu verwenden. Es gibt aber auch hier die mittelbare Motivation durch Vorbereitung zum Zwecke der Erreichung etwaiger Folgen, und sei es der Klang eines Chores oder der Besitz enzyklopädischen Wissens. Ein Verkörperer schließlich wird durch den Widerspruch zwischen seinem Willen und seiner Verfassung motiviert und gelangt schließlich an den Punkt, an welchem er seine Individualität aufgeben muß, um die grundlegende Selbsttäuschung bezüglich seiner Verfassung zu überwinden.

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