Verstreutes

Definition 1. Eine ganze Zahl z heiße vollquadratisch in Zn, n natürlich, wenn es mindestens eine Quadratwurzel von z in Zn gibt und z zur Einheitengruppe von Zn gehört.

Lemma 1. Sei z eine ganze Zahl, p und q zwei natürliche Zahlen, p ungerade und z vollquadratisch in Zp und Zq. Dann ist z auch vollquadratisch in Zpq.

Beweis. Sei zunächst (p,q)=1, wp eine Wurzel von z in Zp und wq eine Wurzel von z in Zq, dann ist wqap+wpbq, mit a, b so, daß ap+bq=1, eine Wurzel von z in Zpq, denn (wqap+wpbq)² = z(a²p²+b²q²) = z(ap+bq)² = z in Zpq, wobei wir ausgenutzt haben, daß zwei ganze Zahlen in Zpq genau dann übereinstimmen, wenn sie in Zp und in Zq übereinstimmen.

Sei nun q ein Vielfaches von p und wq eine Wurzel von z in Zq. Trivialerweise ist dann wq auch eine Wurzel in Zp. Wir betrachten die Werte nq+wq in Zpq. Es gilt (nq+wq)² = 2nqwq+wq². Sodann betrachten wir das mögliche Verschwinden der Differenzen 2nqwq-2mqwq = 2(n-m)wqq. Dieses verschwindet genau dann, wenn 2(n-m)wq in Zp verschwindet. Da p ungerade ist, ist 2 kein Nullteiler, ebensowenig wie wq, wobei wir es als bekannt voraussetzen, daß die Einheitengruppe in Zp durch die teilerfremden Zahlen zu p gegeben ist. Also muß (n-m) verschwinden. Da aber m und n von vornherein kleiner als p gewählt wurden, muß n=m sein und damit nimmt (nq+wq)² in Zpq p verschiedene Werte an. Einer von diesen ist z, da 2nwq sämtliche Werte in Zp durchläuft.

Sei schließlich (p,q)=s und p'=p/s, q'=q/s. Es gilt (p',s)=1 oder (q',s)=1, s ist ungerade und z ist in Zp', Zq' und Zs vollquadratisch. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei (p',s)=1. Dann wenden wir das zuvor bereits Bewiesene auf s und q an, erhalten also, daß z in Zqs vollquadratisch ist. Anschließend wenden wir es auf p' und qs an und erhalten wie gewünscht die Aussage für Zpq.