Vom Lösen von Polynomen durch Wurzeln
Wenn ich hier etwas Galoistheorie vorstelle, dann nur, um an diesem Beispiel zu zeigen, was die Form eines mathematischen Gedankenganges ist.
Um sich darüber klar sein zu können, wie man ein Polynom wohl durch Wurzeln auflösen könne, sollte einem zunächst einmal bekannt sein, daß seine Koeffizienten durch die elementarsymmetrischen Funktionen seiner Lösungen gegeben sind. Das erlaubt einem nämlich erst, das Problem in seiner allgemeinen Form als die Darstellung der Lösungen v1, ... , vn durch die Koeffizienten u1, ..., un zu formulieren, wobei die betrachteten Polynome normiert sind und der höchste Koeffizient somit unterschlagen werden kann.
Diese Darstellung sucht man durch die Grundrechenarten in einem algebraischen Erweiterungskörper von Q(ui), wobei die Erweiterung sukzessive durch Wurzeln zu erfolgen hat und schließlich mit Q(vi) übereinstimmen muß.
Diesen Teil eines mathematischen Gedankenganges bezeichnet man gemeinhin als Ansatz, von welchem die Lösungsidee ausgeht. Und diese besteht hier darin, die Zwischenkörper auf dem Weg zu Q(vi) als die Invarianzmengen von Untergruppen der Automorphismen von Q(vi), welche Q(ui) invariant lassen, zu identifizieren. Dabei ist es zunächst nicht klar, daß jeder Zwischenkörper tatsächlich die Invarianzmenge einer solchen Untergruppe ist, aber hoffen kann man ja. Was man allerdings von Anfang an weiß, und worum man dieses auch nur tut, ist, daß man die betreffenden Automorphismengruppen sehr gut kennt und anhand von ihnen ohne weiteres Elemente finden wird, welche in dem zugehörigen Zwischenkörper liegen, ja sogar ein einzelnes Element, dessen Adjunktion ihn erzeugt.
Offenbar ist dieses letztere Element der Schlüssel zu den weiteren Schritten, da jeder Rekurs auf seinen Zwischenkörper durch es ausgedrückt werden kann.
Damit aber ein Zwischenkörper durch Adjunktion einer Wurzel entstehen kann, wobei wir jetzt bequemerweise Q von Anfang an um die Einheitswurzeln des entsprechenden Grades erweitert hatten, ist es notwendig und hinreichend, daß seine Automorphismengruppe ein Normalteiler der vorangegangenen Automorphismengruppe ist und die zugehörige Faktorgruppe zyklisch, denn bräche man nach diesem Schritt ab, so wäre die Automorphismengruppe dieser unvollständigen Erweiterung zyklisch vom Grade der Wurzel, nämlich durch die Multiplikation mit den Potenzen einer primitiven Einheitswurzel dieses Grades gegeben, und zu der erwähnten Faktorgruppe isomorph, da die Wurzeln nur zu einander konjugiert sind und die Einschränkung der Gesamtautomorphismen auf den Zwischenkörper über der Faktorgruppe wohldefiniert und injektiv und aufgrund der Fortsetzbarkeit von Automorphismen auch surjektiv ist.
Damit also die Auflösung gelingen kann, muß sich die Symmetrische Gruppe über n Elementen zyklisch dekomponieren lassen. Für n=2 ist das trivial, da die Symmetrische Gruppe dann selbst zyklisch ist. Für n=3 kann man zunächst auf die Alternierende Gruppe hinabsteigen, welche durch { (1), (123), (132) } gegeben ist, also durch die Rotationen, und somit selber zyklisch ist von der Ordnung 3. Für n=4 ist es etwas komplizierter und für n>4 unmöglich.
Betrachten wir im folgenden den Fall n=3. Offenbar kann man durch eine geeignete Translation u1=0 erzwingen. Es bleibt u2=v1v2+v1v3+v2v3 und -u3=v1v2v3. Wir suchen nun einen Ausdruck in den vi, welcher durch Rotationen nicht geändert wird, durch die übrigen Permutationen hingegen schon und dessen Quadrat auch durch jene nicht geändert wird. Der Ausdruck muß also sein Vorzeichen ändern und darf sonst nichts. Nun, wenn jede Vertauschung zweier Variablen zu einer Vorzeichenänderung führen muß, zwei solche Vertauschungen zusammen aber nicht, da sie ja die Rotationen ergeben, so wird man wohl von alleine darauf kommen, daß das Produkt der Differenzen je zwei verschiedener Variablen zu betrachten ist, und der Einfachheit halber wird man die Variablen dabei vielleicht sortieren wollen, also hier (v1-v2)(v1-v3)(v2-v3) betrachten.
Das Quadrat dieses Ausdrucks ist symmetrisch und also durch u2 und u3 ausdrückbar, genauer gesagt läßt sich diese Darstellung sogar berechnen und ganz ohne Raffinesse, dafür allerdings mit um so mehr Schweiß, das Ergebnis jedenfalls ist -4u2u2u2-27u3u3 und die quadratische Wurzel daraus erzeugt den ersten (und einzigen) Zwischenkörper.
An dieser Stelle beschließe ich zumindest vorläufig diese Vorstellung, auswerten werde ich sie so oder so zu einem späteren Zeitpunkt noch.
Um sich darüber klar sein zu können, wie man ein Polynom wohl durch Wurzeln auflösen könne, sollte einem zunächst einmal bekannt sein, daß seine Koeffizienten durch die elementarsymmetrischen Funktionen seiner Lösungen gegeben sind. Das erlaubt einem nämlich erst, das Problem in seiner allgemeinen Form als die Darstellung der Lösungen v1, ... , vn durch die Koeffizienten u1, ..., un zu formulieren, wobei die betrachteten Polynome normiert sind und der höchste Koeffizient somit unterschlagen werden kann.
Diese Darstellung sucht man durch die Grundrechenarten in einem algebraischen Erweiterungskörper von Q(ui), wobei die Erweiterung sukzessive durch Wurzeln zu erfolgen hat und schließlich mit Q(vi) übereinstimmen muß.
Diesen Teil eines mathematischen Gedankenganges bezeichnet man gemeinhin als Ansatz, von welchem die Lösungsidee ausgeht. Und diese besteht hier darin, die Zwischenkörper auf dem Weg zu Q(vi) als die Invarianzmengen von Untergruppen der Automorphismen von Q(vi), welche Q(ui) invariant lassen, zu identifizieren. Dabei ist es zunächst nicht klar, daß jeder Zwischenkörper tatsächlich die Invarianzmenge einer solchen Untergruppe ist, aber hoffen kann man ja. Was man allerdings von Anfang an weiß, und worum man dieses auch nur tut, ist, daß man die betreffenden Automorphismengruppen sehr gut kennt und anhand von ihnen ohne weiteres Elemente finden wird, welche in dem zugehörigen Zwischenkörper liegen, ja sogar ein einzelnes Element, dessen Adjunktion ihn erzeugt.
Offenbar ist dieses letztere Element der Schlüssel zu den weiteren Schritten, da jeder Rekurs auf seinen Zwischenkörper durch es ausgedrückt werden kann.
Damit aber ein Zwischenkörper durch Adjunktion einer Wurzel entstehen kann, wobei wir jetzt bequemerweise Q von Anfang an um die Einheitswurzeln des entsprechenden Grades erweitert hatten, ist es notwendig und hinreichend, daß seine Automorphismengruppe ein Normalteiler der vorangegangenen Automorphismengruppe ist und die zugehörige Faktorgruppe zyklisch, denn bräche man nach diesem Schritt ab, so wäre die Automorphismengruppe dieser unvollständigen Erweiterung zyklisch vom Grade der Wurzel, nämlich durch die Multiplikation mit den Potenzen einer primitiven Einheitswurzel dieses Grades gegeben, und zu der erwähnten Faktorgruppe isomorph, da die Wurzeln nur zu einander konjugiert sind und die Einschränkung der Gesamtautomorphismen auf den Zwischenkörper über der Faktorgruppe wohldefiniert und injektiv und aufgrund der Fortsetzbarkeit von Automorphismen auch surjektiv ist.
Damit also die Auflösung gelingen kann, muß sich die Symmetrische Gruppe über n Elementen zyklisch dekomponieren lassen. Für n=2 ist das trivial, da die Symmetrische Gruppe dann selbst zyklisch ist. Für n=3 kann man zunächst auf die Alternierende Gruppe hinabsteigen, welche durch { (1), (123), (132) } gegeben ist, also durch die Rotationen, und somit selber zyklisch ist von der Ordnung 3. Für n=4 ist es etwas komplizierter und für n>4 unmöglich.
Betrachten wir im folgenden den Fall n=3. Offenbar kann man durch eine geeignete Translation u1=0 erzwingen. Es bleibt u2=v1v2+v1v3+v2v3 und -u3=v1v2v3. Wir suchen nun einen Ausdruck in den vi, welcher durch Rotationen nicht geändert wird, durch die übrigen Permutationen hingegen schon und dessen Quadrat auch durch jene nicht geändert wird. Der Ausdruck muß also sein Vorzeichen ändern und darf sonst nichts. Nun, wenn jede Vertauschung zweier Variablen zu einer Vorzeichenänderung führen muß, zwei solche Vertauschungen zusammen aber nicht, da sie ja die Rotationen ergeben, so wird man wohl von alleine darauf kommen, daß das Produkt der Differenzen je zwei verschiedener Variablen zu betrachten ist, und der Einfachheit halber wird man die Variablen dabei vielleicht sortieren wollen, also hier (v1-v2)(v1-v3)(v2-v3) betrachten.
Das Quadrat dieses Ausdrucks ist symmetrisch und also durch u2 und u3 ausdrückbar, genauer gesagt läßt sich diese Darstellung sogar berechnen und ganz ohne Raffinesse, dafür allerdings mit um so mehr Schweiß, das Ergebnis jedenfalls ist -4u2u2u2-27u3u3 und die quadratische Wurzel daraus erzeugt den ersten (und einzigen) Zwischenkörper.
An dieser Stelle beschließe ich zumindest vorläufig diese Vorstellung, auswerten werde ich sie so oder so zu einem späteren Zeitpunkt noch.
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