Eine induktive diophantische Gleichung bei der Approximation der Wurzel von 2

Definition. Eine induktive diophantische Gleichung ist eine Gleichung ganzzahliger Größen mit der Eigenschaft, daß sich aus ihren einzelnen Lösungen jeweils weitere Lösungen logisch ableiten lassen.

Beispiel. Die Gleichung y=x+1 ist eine induktive diophantische Gleichung, da wir zu jeder ihrer Lösungen x, y weitere Lösungen erhalten, indem wir zu x und y den gleichen Betrag addieren oder subtrahieren.

Beim Studium der Zahl 196 stieß ich auf die Zahl 49, darauf auf die Zahl 50, darauf auf die Zahl 25 und schließlich auf die Zahl 5. Anders ausgedrückt,  x=5, y=7 ist eine Lösung der diophantischen Gleichung

A) 2x²-1=y²,

welche zur Approximation der Wurzel von 2 herangezogen werden kann, da aus ihr folgt, daß

y²/x²=2-1/x².

Satz. A ist eine induktive diophantische Gleichung. Ihre Lösungen lassen sich sämtlich aus der Lösung x=1, y=1 nach der folgenden Vorschrift ableiten:

B) x'=3x+2y, y'=x'+(x'-x)/2

Beweis. Zu x, y definieren wir δ=x-2(y-x)=3x-2y und ε=y-x-δ=3y-4x. A ist dann logisch äquivalent zu

A') δx-1=(y-x)²=(δ+ε)²=δ²+2δε+ε².

Mit B gilt aber δ'=x, ε'=y. Also kann in A' ε'² durch 2δ'²-1 ersetzt werden. Wir erhalten also

x'=3δ'+2ε'=3x+2y, δ'≠0,

das heißt durch B werden in der Tat weitere Lösungen angegeben.

Aber auch die folgende Vorschrift gibt weitere Lösungen an:

C) x''=δ, y''=ε.

Es gilt x=3δ+2ε. Setzen wir dies in A' ein, so erhalten wir:

A'') 2δ²-1=ε².

Wir finden also zu jeder größeren Lösung eine kleinere, bis wir in einen Bereich gelangen, über dessen Lösungen wir einen Überblick haben, nämlich

(1,1), (5,7), (29,41), (169, 239), (985, 1393)...

Korollar. Vorschrift B gibt einen Algorithmus zur Annäherung der Wurzel von 2 an, dessen erste Resultate die folgenden sind:

1, 7/5, 41/29, 239/169, 1393/985, ...

Post Scriptum vom 26.8.2017. Ich habe B und δ und ε auf geometrischem Wege in Kenntnis der ersten Lösungen von A bestimmt. Allgemeiner läßt sich der Ansatz machen, daß die Induktion durch eine lineare Transformation von x, y geschieht, also

x'=αx+βy, y'=γx+δy.

Setzen wir dies in A ein, so erhalten wir die Gleichungen

2α²-2=γ²,
2αβ=γδ und
2β²+1=δ².

Quadrieren wir die zweite Gleichung und setzen die erste und dritte in sie ein, so erhalten wir

4α²β²=4α²β²+2α²-4β²-2

und daraus

2β²+1=α²,

was durch α=3, β=2 gelöst wird, also B ergibt, und ebenso durch α=3, β=-2, was δ und ε aus dem gestrigen, ursprünglichen Beitrag ergibt und die erste lineare Transformation invertiert.