Eine geometrische Klassifikation der linearen Transformationen der Ebene

Die linearen Abbildungen der Ebene auf die Ebene A werden durch 4 Parameter aⁱ_j bestimmt, i=1,2 und j=1,2, wobei die aⁱ die Bildvektoren der Vektoren (1,0) und (0,1) sind.

Jede solche Transformation läßt sich eindeutig wie folgt zerlegen

A = NEN^-1RS,

wobei

|det(R)|=1, det(N)=1,
s¹₁=s²₂=σ>0, s¹₂=s²₁=0,
e¹₁=ε≥1, e²₂=1/ε, e¹₂=e²₁=0,
n¹₁=n²₂=cos(ν), n¹₂=sin(ν), n²₁=-sin(ν).

Die Transformationen RS bilden eine multiplikative Untergruppe von Matrizes M , det(M)≠0, der Form

m¹₁=m²₂, m¹₂=-m²₁ oder
m¹₁=-m²₂, m¹₂=m²₁

und die Transformationen NESN^-1 sind Matrizes M der Form

m¹₂=m²₁.

Diese Darstellung gilt (selbstverständlich) nicht nur im 2-Dimensionalen. Alle selbstadjungierten Matrizes besitzen eine Darstellung der Form NEN^-1 (wobei Π_ieⁱ_i beliebige Werte annehmen darf) und alle Matrizes überhaupt lassen sich als Produkt einer selbstadjungierten Matrix mit einer Rotation schreiben.

Beschränken wir uns auf nicht entartete Matrizes, so finden wir auch in höheren Dimensionen stets eine Darstellung NEN^-1RS (mit Π_ieⁱ_i=1), wobei die Eindeutigkeit von N bei rotationssymmetrischen Ellipsoiden weiter leidet.

Zur Bedeutung.

• σ ist die Skalierung,
• R ist die Rotation oder Spiegelung,
• ν<π ist die Achsenneigung der Ellipse (falls ε>1),
• ε ist die Exzentrik der Ellipse.

Man stelle sich einen Kreis und sein Bild unter A vor. Die Punkte auf dem Kreis mögen rotiert oder gespiegelt werden und der Kreis dann anschließend in eine Ellipse verformt. Das ergibt sämtliche linearen Abbildungen der Ebene auf die Ebene.

Es gilt σ=|det(A)|^1/2. Die übrigen geometrischen Größen lassen sich zwar auch aus den aⁱ_j bestimmen, aber die Formeln sind unhandlich. Immerhin können wir die Exzentrik noch einigermaßen elegant als den größten Eigenwert von NEN^-1 bestimmen

ε=(Spur(NEN^-1)+(Spur(NEN^-1)²-4)^1/2)/2

und (NEN^-1)²S²=AA*, wobei A* die transponierte Matrix von A bezeichne.

Post Scriptum vom folgenden Tag. Der Grund für diesen Ausflug in die lineare Algebra ist, daß ich vor knapp 20 Jahren den Gedanken hatte, daß die lineare Approximation eines inkompressiblen dreidimensionalen Flusses F an einem Punkt zu einer Zeit, also die Matrix (df)ⁱ_j(t,x)= dF_i(t,x)/dx_j, Aufschluß über denselben geben würde, und zwar in etwa so:

• d(σ³)/dt ist die infinitesimale Expansion zur Zeit 0 (das wenigstens stimmt),
• R läßt sich zerlegen in eine Rotation der Ebene, welche die Flußrichtung und das Bild der Flußrichtung unter R enthält, sowie in eine Rotation um das Bild der Flußrichtung. Erstere sollte mit der Krümmung des Flusses zusammenhängen, letztere mit seiner Windung. Die infinitesimale Krümmung und Windung zur Zeit 0 sollten sich wieder durch Ableitung nach t ergeben.
• Die Eigenwerte und -vektoren von NEN^-1 sollten die Spreizung des Flusses beschreiben und die infinitesimale Spreizung zur Zeit 0 sich wiederum durch Ableitung nach t ergeben.

Ich habe es damals ruhen lassen, und werde es auch jetzt wieder ruhen lassen müssen, aber erwähnen wollte ich es doch.