Zur rationalen Approximation quadratischer Wurzeln ganzer Zahlen

Um die Quadratwurzel einer nicht quadratischen ganzen Zahl n durch rationale Zahlen zu approximieren, können wir analog zum vorigen Beitrag die rationalen und vorzugsweise ganzzahligen Lösungen der Gleichung

A) nx²-c=y², wobei c ganzzahlig und vorzugsweise klein ist,

heranziehen,  denn wir können die lineare Transformation der Lösungen allgemein aus den Koeffizientenvergleichsgleichungen

x'=αx+βy, y'=γx+δy,
nα²-n=γ²,
nαβ=γδ und
nβ²+1=δ²

durch Einsetzen

n²α²β²=n²α²β²+nα²-n²β²-n

zu

B) nβ²+1=α²

bestimmen. Da wir als Koeffizienten hier nur positive Zahlen betrachten gilt weiterhin

γ=nβ und
δ=α.

Nachdem wir also für geeignetes c (im Falle n=3 beispielsweise c=2) eine Lösung x, y von A gefunden haben, können wir wie gehabt durch ihre lineare Transformation zu x', y' die Quadratwurzel von n approximieren, vorausgesetzt, daß B eine rationale und vorzugsweise ganzzahlige Lösung α, β besitzt.

Nun, B besitzt solche Lösungen. Wir müssen lediglich a, d so wählen, daß

a²+d=n oder
a²-d=n

gilt. Damit ergeben sich α, β dann zu

α=2a²/d+1 oder 2a²/d-1 und
β=2a/d,

wie ein Blick auf die eingesetzten Lösungen

4a⁴/d²+4a²/d+1=4a⁴/d²+4a²/d+1 oder
4a⁴/d²-4a²/d+1=4a⁴/d²-4a²/d+1

beweist, und umgekehrt gilt offensichtlich

a=(α-1)/β oder
a=(α+1)/β,

so daß es zu jeder Lösung α, β zwei Darstellungen durch a, d gibt.

Damit diese Lösungen ganzzahlig sein können, muß der Zähler des reduzierten Bruches d ein Teiler von 2n sein, in welchem Fall er 2a² teilt und unter Umständen, etwa wenn er quadratfrei ist, auch schon 2a.

Genauere Betrachtungen zur Existenz ganzzahliger Lösungen α, β sind interessant, aber nicht ganz einfach, jedenfalls auf den ersten Blick nicht, und einstweilen möchte ich die Angelegenheit auf diesem Stand belassen.