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28. August 2017

Zur rationalen Approximation quadratischer Wurzeln ganzer Zahlen

Um die Quadratwurzel einer nicht quadratischen ganzen Zahl n durch rationale Zahlen zu approximieren, können wir analog zum vorigen Beitrag die rationalen und vorzugsweise ganzzahligen Lösungen der Gleichung
A) nx²-c=y², wobei c ganzzahlig und vorzugsweise klein ist,
heranziehen,  denn wir können die lineare Transformation der Lösungen allgemein aus den Koeffizientenvergleichsgleichungen
x'=αx+βy, y'=γx+δy,
nα²-n=γ²,
nαβ=γδ und
nβ²+1=δ²
durch Einsetzen
n²α²β²=n²α²β²+nα²-n²β²-n
zu
B) nβ²+1=α²
bestimmen. Da wir als Koeffizienten hier nur positive Zahlen betrachten gilt weiterhin
γ=nβ und
δ=α.
Nachdem wir also für geeignetes c (im Falle n=3 beispielsweise c=2) eine Lösung x, y von A gefunden haben, können wir wie gehabt durch ihre lineare Transformation zu x', y' die Quadratwurzel von n approximieren, vorausgesetzt, daß B eine rationale und vorzugsweise ganzzahlige Lösung α, β besitzt.

Nun, B besitzt solche Lösungen. Wir müssen lediglich a, d so wählen, daß
a²+d=n oder
a²-d=n
gilt. Damit ergeben sich α, β dann zu
α=2a²/d+1 oder 2a²/d-1 und
β=2a/d,
wie ein Blick auf die eingesetzten Lösungen
4a4/d²+4a²/d+1=4a4/d²+4a²/d+1 oder
4a4/d²-4a²/d+1=4a4/d²-4a²/d+1
beweist, und umgekehrt gilt offensichtlich
a=(α-1)/β oder
a=(α+1)/β,
so daß es zu jeder Lösung α, β zwei Darstellungen durch a, d gibt.

Damit diese Lösungen ganzzahlig sein können, muß der Zähler des reduzierten Bruches d ein Teiler von 2n sein, in welchem Fall er 2a² teilt und unter Umständen, etwa wenn er quadratfrei ist, auch schon 2a.

Genauere Betrachtungen zur Existenz ganzzahliger Lösungen α, β sind interessant, aber nicht ganz einfach, jedenfalls auf den ersten Blick nicht, und einstweilen möchte ich die Angelegenheit auf diesem Stand belassen.

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