Über die vierten Wurzeln von -1/4 in gewissen Galoisfeldern

Lustigerweise läßt sich folgende Aussage recht leicht beweisen. Es handelt sich um einen Zusatz zum Fermatschen zwei Quadrate Satz.

Lemma 1. Es sei p=1 mod 4. Dann besitzt -1/4 in Zp vierte Wurzeln.

Beweis. Es sei p=4n+1, also -1/4=n. Nach dem Fermatschen zwei Quadrate Satz gibt es eine Quadratwurzel r von n, (2r)²=-1. Nun ist offenbar auch (2r-1)² eine Quadratzahl und die Differenz (2r)²-(2r-1)² beträgt 4r-1, m.a.W. ist also (2r-1)²=-4r oder r=-(2r-1)²/4 und somit r-2n = 1/2+r eine Quadratwurzel von r. Eine Quadratwurzel von -r ist 1/2-r.

Anmerkung. Eine Quadratwurzel zu besitzen ist natürlich gleichbedeutend damit, eine Ordnung zu haben, welche (p-1)/2 teilt und entsprechend eine vierte Wurzel zu besitzen damit, eine Ordnung zu haben, welche (p-1)/4 teilt, und ersteres sieht man für -1 sofort, da muß man also nicht unbedingt Fermat herauskramen.

Korollar 1. Genau dann ist 2 in Zp, p=4n+1, quadratisch, wenn n gerade ist, also p=1 mod 8 gilt.

Beweis. -1/4 besitzt genau dann vierte Wurzeln, wenn entweder -1 vierte Wurzeln und 2 quadratische Wurzeln besitzt oder wenn -1 keine vierten Wurzeln und 2 keine quadratischen Wurzeln besitzt. Daraus folgt die Aussage, wenn man das vorangegangene Lemma und die vorangegangene Anmerkung bedenkt.