Zur Formalisierung der Gedanken

Ich möchte mich nicht überheben und gehe die Formalisierung des Denkens daher lieber langsam an, um mich, wenn alles gut geht, dem Ziel Schritt für Schritt zu nähern.

Einstweilen möchte ich lediglich zwei Wahrnehmungsvermögen bezeichnen, das Denk- und das Einsichtsvermögen.

• Λ (λόγος) Denkvermögen
• Δ (Begründung des Denkens) Einsichtsvermögen

Daneben seien die folgenden auf einander bezüglichen Begriffe bezeichnet.

• α dasjenige, welchem etwas zugeordnet ist
• β dasjenige, welches etwas zugeordnet ist
• φ (φαινόμενον) dasjenige, welches wahrgenommen wird
• ν (νοῦς) dasjenige, welches wahrnimmt
• σ, ς auf einander bezügliche Begriffe

Desweiteren brauchen wir eine Notation für die Zuordnung, um sie faktisch vorzunehmen.

• [a|b] b ist a zugeordnet

Anmerkung. Mit der Frage, wo hierbei ist und wo hingegen sei verwendet werden muß, werden wir uns gegebenenfalls später noch zu beschäftigen haben.

Für die natürlichen logischen Operationen verwenden wir diese Bezeichnungen.

• A, B bezeichnet die Konjunktion von A und B
• >A< bezeichnet die Negation von A

Wenn wir nun auf einander bezügliche Begriffe in Formeln verwenden, so müssen wir ihnen einen Index zuordnen, damit klar ist, welche beiden sich jeweils formal auf einander beziehen.

Um das zu verdeutlichen, gebe ich die folgenden trivialen Gleichungen an.

[a|b] = [α¹|a], [β¹|b] = [α²|α¹], [β²|a], [α³|β¹], [β³|b] = ...

Ich möchte sagen, daß hier der Grund verborgen liegt, warum Heidegger so schwer zu lesen ist.

Desweiteren möchte ich der Bequemlichkeit halber folgende Kurzschreibweisen verwenden.

• A{b}für [ν|A], [φ|b]
• a~b für [σ|a], [ς|b]

Schließlich brauchen wir noch den Existenzquantor, sowie die üblichen Kurzschreibweisen für die Anwendung der üblichen logischen Operationen.

• ∃a: Δ{B(a)} es existiert ein Gegenstand, welcher der Auszeichnung B entspricht
• ∃a; Δ{B(a)}: Δ{C(a)} steht für ∃a: Δ{(B, C)(a)}
• ∀a; Δ{B(a)}: Δ{C(a)} steht für >∃a; Δ{B(a)}: Δ{>C(a)<}<
• A => B steht für ∀C; Δ{C}: Δ{>A, >B<<}
• A <=> B steht für A=>B, B=>A

Damit hätten wir eine ganze Reihe von Symbolen und Schreibweisen und müssen nun innehalten und uns fragen, ob und wie uns mit ihnen gedient ist.

Was ist etwa unter A(b) zu verstehen, wenn A eine Auszeichnung ist und A(b) eine Aussage sein soll?

Wir brauchen offenbar das Konzept freier und gebundener Variablen in logischen Ausdrücken, wobei jede freie Variable durch einen Existenzquantor gebunden werden muß, um zu einer Aussage zu gelangen, welche überhaupt erst im Einsichtsvermögen liegen kann.

Entsprechend sollten wir die obige Frage auf den Ausdruck A(b,c,d,...) erweitern.

Wie muß die dazugehörige Auszeichnung aussehen?

Offenbar gibt es in ihr auf einander bezügliche Begriffe, und jedesmal, wenn sich ein solcher Begriff auf einen Gegenstand beziehen soll, welchen er auszeichnen soll, und zwar möglicherweise in gegenseitiger Abhängigkeit von anderen zugleich ausgezeichneten Gegenständen, muß dies formal kenntlich gemacht werden.

Es reicht also nicht, wie ich im vorigen Beitrag schrieb, einigen bezüglichen Begriffen schlicht nichts zuzuordnen. Dies würde nur dann reichen, wenn lediglich ein Gegenstand an die Auszeichnung gebunden werden soll.

Sind indes mehrere vorgesehen, so muß den entsprechenden Begriffen ein Platzhalter zugeordnet werden, welcher später gegen die entsprechende Variable auszutauschen ist.

Dies ist aber kein sonderlich großes Problem, denn man kann den Platzhalter so wählen, daß sich zwar formal eine Aussage ergibt, diese aber von einer überflüssigen Art ist, so daß man die Definition einer formalen Aussage so abändern kann, daß es sich bei Zuordnung ausgewiesener Platzhalter um keine handele.

Bemerkung. Zur angesprochenen Differenz zwischen ist und sei, eine Auszeichnung ergibt natürlich nur dann Sinn, wenn sie danach fragt, ob etwas einem anderen bereits zugeordnet ist, und nicht, wenn sie diese Zuordnung selbst vornimmt, wobei durch den Austausch der Platzhalter schon eine Zuordnung vorgenommen wird, aber nur auf der formalen Ebene, um eine formale Aussage zu erhalten. Wäre die Auszeichnung beispielsweise [a|x], so würde das etwa durch [a|b] ersetzt, aber dieses wäre nur dann einsehbar, wenn b dem Gegenstand a bereits zuvor zugeordnet gewesen wäre.

Kommen wir zur nächsten Frage. Wie lassen sich Gesamtheiten formalisieren?

Auf vielerlei Weisen natürlich, aber jede beruht darauf, der die Gesamtheit definierenden Auszeichnung ein Symbol für die Gesamtheit zuzuordnen. Eine Möglichkeit wäre etwa

Δ{A}, wobei A eine Auszeichnung ist.

An dieser Stelle ist es im übrigen wohl zweckmäßiger nur Auszeichnungen zu betrachten, welche lediglich eine Variable binden.

Wie aber können wir im hiesigen Rahmen eine Begleitung, etwa [x|x²], formalisieren?

Nein, ich habe es nicht gerade schon getan. Was da steht, ist entweder eine Auszeichnung von Zahlen, denen ihr Quadrat zugeordnet ist, oder es ist die Zuordnung des Quadrates einer bestimmten Zahl zu ihr selbst.

Ehrlich gesagt stellt sich bereits die Frage, wie wir überhaupt irgendeine Zuordnung auszeichnen können.

Angeben können wir [7|49], aber auszeichnen?

Doch, es geht schon, aber es ist kompliziert:

x<=>[7|49]

Bitte nicht lachen, so ist es eben. Allerdings, wie ist es eben? Handelt es sich hierbei um die Auszeichnung der Zuordnung oder um die Auszeichnung der Aussage über eine Zuordnung?

Letzteres ist der Fall, und mehr können wir auch nicht erreichen, da wir ja lediglich beschreiben wollen und eine Zuordnung durch einen Akt zu Stande kommt. Allerdings müssen wir auch nicht mehr erreichen, da die Beziehung zwischen Zuordnungen und Aussagen über sie eineindeutig ist.

Und auf die gleiche Weise können wir somit auch Begleitungen formalisieren, etwa die Auszeichnung aller Zuordnungen, welche einer Zahl ihr Quadrat zuordnen.

∃b: x<=>[b|b²], wobei Δ{∃a: B(a)} = ∃a: Δ{B(a)}

Es stimmt, daß es bei den letzten beiden Auszeichnungen eine Schwierigkeit gibt, nämlich die Einsicht in die logische Äquivalenz in allen Fällen, welche einen Beweis erfordert, auch wenn er dort nur darin besteht, daß zwei Aussagen, welche übereinstimmen, identisch sind und umgekehrt, und daß es zum anderen natürlich viele formal unterschiedliche Aussagen gibt, welche inhaltlich identisch sind, etwa indem man zu einer Aussage beliebig oft und 1+1=2 hinzufügt. Diese Auszeichnungen müssen also inhaltlich verstanden und obendrein ihre Einsehbarkeit bewiesen werden. Es ist wirklich eine ausgesprochen komplizierte Angelegenheit, und alles nur, um einer Zuordnung eine Formel zuzuweisen.

Damit soll es mir für heute genug sein. Ob es wirklich nötig war, Auszeichnungen zu betrachten, welche mehr als eine Variable binden, weiß ich nicht, aber wenn es nötig sein sollte, ginge es relativ leicht. Auch habe ich mir bisher keine grundsätzlichen Gedanken über das Hantieren mit Inhalte vertretenden Symbolen gemacht. Allerdings ist mir der Unterschied zwischen einer reinen Schreibweise wie Δ{A} und einem einsichtsmäßig verwertbaren Gegenstand wie ∃a: Δ{x<=>[a|a²]} schon bewußt.

Die Gesamtheit ist ein verzichtbarer Begriff, eine Auszeichnung von Aussagen über Zuordnungen hingegen nicht.

Ich sollte mir wahrscheinlich als nächstes Gedanken über den Prozeß des Zuordnens, um zu beschreiben, machen.