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11. April 2018

Zu den Differenzen der Einheiten von Z2*...*p

Ich habe mir meinen Beitrag zur Verteilung der Primzahlen einmal wieder angeschaut und möchte folgendes kleines Lemma festhalten.

Lemma. Die Differenzen der invertierbaren Elemente in Z2*...*p, p>2 und als Faktoren die aufsteigend geordneten Primzahlen, bilden gerade das Ideal der geraden Zahlen in Z2*...*p.

Beweis. Die Differenzen der invertierbaren Elemente bilden offensichtlich eine Teilmenge dieses Ideals, welche unter der Multiplikation mit invertierbaren Elementen invariant ist.

Da 1 und -1 beide invertierbar sind, gehören sämtliche Elemente der Form 2e, e invertierbar, zu dieser Menge, ja, sogar alle Elemente der Form 2ne, da 4/2=3*...*p+2 invertierbar ist  Dasselbe gilt entsprechend auch für jeden anderen Primfaktor q aus 2, ..., p, also q²/q=2*...*p/q+q, so daß wir lediglich allgemeiner für jedes partielle Produkt q der 3, ..., p zeigen müssen, daß 2q eine Differenz invertierbarer Elemente ist.

Nun, betrachten wir dazu 3*...*p/q+2q und 3*...*p/q+4q. Beide Elemente sind offensichtlich invertierbar und ihre Differenz ist wie gefordert 2q.

Post Scriptum vom selben Tag. Wenn wir wieder den Isomorphismus vom eingangs verlinkten Beitrag verwenden, erhalten wir allerdings ohne große Mühe gleich eine wesentlich stärkere Aussage, nämlich daß jede Differenz d=2e0*q1e1*...*qnen, qi aus 3, ..., p, genau (3-c1)*...*(p-cm), ci = 1, falls der zugehörige Primfaktor zu den qi gehört und 2 sonst, Mal zwischen invertierbaren Elementen aus Z2*...*p auftritt, also beispielsweise d=2 in Z30 (3-2)*(5-2)=3 Mal, d=12 in Z30 (3-1)*(5-2)=6 Mal und d=70 in Z210 (3-2)*(5-1)*(7-1)=24 Mal.

Post Scriptum vom folgenden Tag. Ich vermute, daß die maximale Distanz zweier unmittelbar auf einander folgender invertierbarer Elemente in Z2*...*pn, pn>2, stets 2pn-1 beträgt. Jedenfalls ist dies eine untere Schranke für die maximale Distanz, wie ein exemplarischer Blick (ein Blick mit Blick für das Exemplarische) auf die Elemente der folgenden Bauart in Z2 x ... x Z13 zeigt:
2:  1   1   1   1   1   1   1   1   1   1
3:  0   2   1   0   2   1   0   2   1   0
5:  1   3   0   2   4   1   3   0   2   4
7:  5   0   2   4   6   1   3   5   0   2
11: 3   5   7   9   0   2   4   6   8  10
13: 3   5   7   9  11   0   2   4   6   8,
und ich glaube einfach nicht, daß sich dies verbessern läßt (also die Verteilung der Nullen, ein geradezu mechanisches Problem).

Stimmt meine Vermutung, so folgt insbesondere, daß pn+1-1 ≤ 2pn-1, was das Bertrand'sche Postulat geringfügig verschärft. Die Frage ist jetzt halt nur, ob sie stimmt und wie leicht sie zu beweisen ist, falls sie stimmt. Intuitiv gesehen sollte sie stimmen. Was besseres kann man mit den Nullen schon anstellen als sie zunächst symmetrisch bei minimaler paarweiser Gitterüberschneidung zu verteilen und dann mit den letzten beiden Primfaktoren die Lücke in der Mitte zu schließen? (Nun, derartige Anrufungen haben in der Mathematik nichts zu suchen. Der direkte Beweis müßte wohl oder übel über eine ziemlich genaue Abschätzung der Verteilung der Lücken bei Induktion über die zur Lückenerzeugung verwendeten Primfaktoren laufen, ausgehend von der Menge der bezüglich Z2 und Z3 invertierbaren Elemente.)

Post Scriptum vom 16. April 2018. Wenigstens steigt der Anteil der Intervalle der Länge d zwischen zwei Einheiten ei, fi, zwischen welchen keine weitere Einheit liegt, im Verhältnis zu allen e, f dieser Differenz in Z2*...*pn mit n monoton an, da es zu jedem solchen ei aus Z2*...*pn wenigstens (pn+1-2) Einheiten eij aus Z2*...*pn+1 gibt, welche in Z2 x ... x Zpn mit ei übereinstimmen und in Zpn+1 ungleich 0, -d sind und deren jeweils folgende Einheiten fij also den Abstand d zu ihnen haben. Ist pn+1 ein Teiler von d, gibt es sogar noch eine Einheit eij aus Z2*...*pn+1 mit dieser Eigenschaft mehr. Das heißt jedes solche Intervall vermehrt sich auf dieselbe Weise, wie sich die Menge aller e, f derselben Differenz vermehren, nur daß zwischen letzteren liegende weitere Einheiten aus Z2*...*pn eventuell in Zpn+1 verschwinden.

Es liegt nahe, die Intervalle zwischen zwei Einheiten, welche keine weiteren Einheiten enthalten ganz zu nennen, die übrigen aber gebrochen und die Bilder von Intervallen zwischen zwei Einheiten unter den pn+1 affinen Abbildungen, welche die untere Intervallgrenze aus Z2 x ... x Zpn in den ersten n Komponenten unverändert in Z2 x ... x Zpn+1 belassen, in der (n+1)-ten Komponente einen beliebigen Wert annehmen und die übrigen Werte durch Addition der Differenz zur unteren Intervallgrenze abbilden, sinnigerweise vorzeichenbehaftet verstanden oder besser gleich als Abbildung sämtlicher ganzer Zahlen Z, Klone, falls sie, die Intervallgrenzen mitbetrachtet, genau so viele Einheiten enthalten wie die Urbilder in Z2*...*pn, und n-fache Schwundmutanten, falls sie n Einheiten weniger enthalten.

Jedes Intervall besitzt einen oder zwei Schwundmutanten, welche nicht beide die untere und/oder die obere Intervallgrenze enthalten. Ein solches Intervall heiße aufgelöst, alle übrigen Schwundmutanten gekittet.

Ganze Intervalle können nur aufgelöst werden, aber jedes gebrochene Intervall besitzt wenigstens einen Schwundmutanten, welcher es kittet, es sei denn die Kittung wäre nicht ohne Auflösung möglich, was dann der Fall ist, wenn alle zusätzlichen Einheiten einen Abstand zu einer der beiden Intervallgrenzen besitzen, welcher ein Vielfaches von pn+1 ist.

Genau dann besitzt ein Intervall einen n-fachen Schwundmutanten, wenn es eine maximale Menge von n Einheiten einschließlich Intervallgrenzen besitzt, deren Elemente unter einander Abstände haben, welche ein Vielfaches von pn+1 sind.

Stimmt meine obige Vermutung, so besitzt kein ganzes Intervall einen doppelten Schwundmutanten, denn 2pn-1<2pn+1.

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