In Ansicht der Diskriminante der p-ten über den ganzen Zahlen algebraisch unabhängigen Einheitswurzeln

In dem eher blinden Bemühen, Resultat und Methode der Beiträge Kleiner Erzeugersatz und Algebra in Geometrie und Zahlentheorie zu verallgemeinern, habe ich die Diskriminante D(x^p-1+x^p-2+...+1) in Augenschein genommen.

Ein bißchen konkrete Rechnerei führt auf die Vermutung, daß ihr Wert p^p-2 beträgt, falls p = 1 mod 4 ist und -p^p-2, falls p = 3 mod 4.

Da die Diskriminante in Z[ζ₁, ..., ζ_p-1], ζ_i die über Z algebraisch unabhängigen Einheitswurzeln, quadratisch ist, folgte wiederum, daß (-) p in Z_q, q = 1 mod p, quadratisch ist.

Auch wenn ich die kleine Übung, deren Anfang ich im Beitrag Euler und Gauß also beschrieben habe, gerne zu Ende bringen würde, was durch den Beweis der vorigen Aussage natürlich noch nicht geschehen ist, bin ich doch nicht so bekloppt, die folgende Vermutung, welche bei der Berechnung der Diskriminante auftritt, zu beweisen, denn für das quadratische Reziprozitätsgesetz ist sie unerheblich.

ζ_1/16(1-ζ₁)...(1-ζ_(p-1)/2) = s(1)ζ₁+...+s(p-1)ζ_p-1, s(i) = i^(p-1)/2 mod p, |s(i)| < 2

Ich habe s Signum genannt, Neukirch, welcher die Diskriminante im Index führt und qua Diskriminante auf Seite 52 zum Reziprozitätsgesetz, welches der Arsch weder unter Reziprozitätsgesetz noch quadratisches Reziprozitätsgesetz aufgelistet hat, sondern nur als Gauß'sches Reziprozitätsgesetz, nennt es Legendre Symbol.

Der Witz ist, daß die rechte Seite der Gleichung die (p-2)-te Wurzel des vermuteten Wertes der Diskriminante ergibt, wenn man sie quadriert, und dieses Quadrat vermochte ich dann doch auszurechnen.

Offensichtlich gilt (s(1)ζ₁+...+s(p-1)ζ_p-1)² =

Σ_{k+l=1 mod p} s(kl)ζ₁+...+Σ_{k+l=p-1 mod p} s(kl)ζ_p-1+Σ_{k+l=0 mod p} s(kl)

und zwei Dinge dazu

1. Σ ζ_i ist die elementar symmetrische Funktion, aus welcher sich der Koeffizient von x^p-2 des Polynoms, dessen Diskriminante zu berechnen ich mich weigere, ergibt, also Σ ζ_i = -1 und
2. der letzte Summand Σ_{k+l=0 mod p} s(kl) ist bekannt, er ergibt p-1, falls -1 in Z_p quadratisch ist, also p = 1 mod 4, und -(p-1), falls p = 3 mod 4.

Damit die ersten Summanden zusammenaddiert ebenfalls in Z liegen können, müssen die betrachteten Signum-Summen alle denselben Wert ergeben.

Nun, es gilt k = i-l mod p und (i-l)l = -l²+il = -(l-i/2)²+i²/4 mod p.

Wir können die Parabel rechts um i/2 in Z_p nach links verschieben, dort horizontal um den Faktor i/2 stauchen und anschließend wiederum dort vertikal um den Faktor i²/4 stauchen. Das Ergebnis ist -l²+1 mod p und somit gilt

Σ_{k+l=i mod p} s(kl) = Σ_l=0,...,p-1 s(-l²+1) für alle i,

da die Transpositionen lediglich die Reihenfolge der Summanden ändern, s(0)=0 ist und s(ab)=s(a)s(b) und s(a²)=1.

Falls p = 1 mod 4 ist, ändert sich die Summe nicht, wenn wir die Parabel mit -1 multiplizieren, also l²-1 betrachten, ist hingegen p = 3 mod 4, so müssen wir ihren Wert ebenfalls mit -1 multiplizieren, wenn wir zu ihr übergehen. Damit also bleibt zu zeigen, daß

Σ_l=0,...,p-1 s(l²-1) = -1 für alle p>2.

Offensichtlich übersteigt der Betrag des Wertes dieser Summe p-2 nicht, da zwei Summanden in ihr 0 sind. Also genügt es zu zeigen, daß sie in Z_p -1 ergibt.

Zu diesem Zweck erinnern wir uns kurz daran, daß es stets ein Polynom S_n gibt, dessen Werte S_n(y) durch die Summe der Werte des Monoms xⁿ über 1 bis einschließlich y gegeben ist, also S_n(y) = Σ_x=1,...,y xⁿ.

Es handelt sich dabei um das Polynoms des n+1-ten Grades, welches die folgenden beiden Bedingungen erfüllt.

1. S_n(0) = 0
2. S_n(x) = S_n(x-1) + xⁿ

Die zweite Bedingung macht, daß bei der Berechnung der Koeffizienten von S_n durch Teiler von (n+1)! geteilt werden muß. Glücklicherweise ist das aber auch möglich in Z_p, so lange n < p-1. Für n=0 kriegen wir allerdings die falsche Summe, da die richtige von 0 anfängt zu addieren, und nicht von 1. Lassen wir diese beiden Exponenten also einstweilen außenvor und beschränken uns auf die Exponenten von 1 bis p-2.

Welchen Wert besitzt das summierende Polynom S_n, n=1,...,p-2, an der Stelle -1? Nun, es verschwindet dort offensichtlich aufgrund der beiden Bedingungen, welche es definieren, also können wir sämtliche Monome dieser Exponenten vergessen, wenn wir über (x²-1)^(p-1)/2 in Z_p summieren.

Die Summe über die Konstanten verschwindet auch, weil wir sie p Mal addieren, es bleibt also nur die Summe über x^p-1 zu betrachten, und diese Summe ergibt -1, da x^p-1 = 1 für alle x außer 0. Q.E.D.

Ich hasse die Zahlentheorie: Stetes Vertun durch wechselnde algebraische Bereiche, aufwendige Visualisationen, welche keine Ansatzpunkte liefern, mickrige Fürze, welche einen schließlich weiterbringen. Aber vielleicht liegt ja gerade in dieser Unnahbarkeit die Schönheit ihrer Gesetzmäßigkeiten begründet, ähnlich wie bei Edelsteinen und -metallen, welche ja auch nicht leicht zu haben sind. Dennoch, ein Leben lang dergleichen zu betreiben, ist Folter, nicht weniger schlimm als die im Bergbau, wie könnte man sich ihr aussetzen, ohne zu verwracken.

Nachtrag.  Ich war heute mal wieder in der Kirche, nach langer Zeit. Ich möchte zwei Dinge aus diesem Gedankenkreis festhalten.

1. Wein ist deshalb das Blut Christi, weil aus den überschüssigen Trauben, also dem, was das Leben mehr besitzt, als was die Welt aufbraucht, der Geist, der Spiritus, erwächst.
2. Die Tonsur, man sieht das auf den Bildern nicht, aber ich habe eine alte Mönchsstatue (gut, es ist Petrus, aber er sieht wie ein Mönch aus) im Museum von Kuressaare (Arensburg) gefunden, läßt lediglich vorne einen Haarbogen übrig. Die Idee dahinter ist, daß die Haare das Haupt herrlicher schmücken als ein Diadem.

Wiewohl dem christlichen Glauben der Glaube an die Krücke, das technische Hilfsmittel, innewohnt, gab es doch auch einen Glauben, welcher als Gegengewicht dazu den Menschen selbst zum Ausgangspunkt aller irdischen Macht machte, beziehungsweise zum Tor, durch welche diese Welt mit Gott kommuniziert.