Euler und Gauß also
Ich wußte natürlich schon, daß die Eigenschaft natürlicher Zahlen, welche ich mir seit geraumer Zeit vorgenommen habe zu beweisen, bekannt sein muß, aber ich wußte nicht, wie sie heißt, wer sie entdeckt und wer sie bewiesen hat.
Als ich heute auf den Gedanken kam, daß die Gaußschen Zahlen nützlich zu ihrem Beweis sein sollten, stieß ich Wikipedia sei Dank sofort auf ihren Namen und die Namen ihres Entdeckers und Beweisers.
Ironischerweise habe ich meinen Beitrag auch noch so genannt: Eine kleine Ergänzung. Es handelt sich dabei um den zweiten Ergänzungssatz des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. Im allgemeinen Fall stehe ich vor der nach dem Approximationslemma zu erwartenden Schwierigkeit, beweisen zu müssen, daß eine Primzahl nicht in allen Primzahlen, welche kleiner als sie sind, quadratisch sein kann. So absurd die Aussage auch ist, einen direkten Beweis versuche ich lieber nicht. Stattdessen erwuchs mir wie angedeutet die Hoffnung, daß es nützen könnte, statt p=1+4n ihre Teiler in Z[i] zu betrachten. Ob es wirklich nützt und auf welche Weise, sei mal dahingestellt, jedenfalls kann ich den Beweis jetzt jederzeit nachlesen, wenn es mir gefällt.
Nicht daß ich sicher bin, daß ich es auch tun werde, das Ganze war und ist eh nur Sport.
Ich weiß nicht, ob es Euler auch so ging, aber ich stieß auf das quadratische Reziprozitätsgesetz, als ich mich fragte, auf welche Weise ich ein paar Ulmen und ein paar mehr Eschen pflanzen sollte. Die Eschen sind seitdem fast alle eingangen, aber die Ulmen leben noch. Ich hatte also drei Ulmen und etliche Eschen zur Verfügung, welche in einer Ecke hier zu dicht wuchsen und umgepflanzt werden mußten, was, wie ich jetzt weiß, Eschen nicht sonderlich gefällt.
Ich entschied mich für folgendes Muster: E E U E E U E E U E E. Acht Eschen, drei Ulmen, elf Bäume oder allgemein betrachtet (x-1)(x+1)+x=x2+x-1.
Folgende Gesamtzahlen liefert dieses Muster also: 1,5,11,19,29,41,55,71,89,109,... Eine wahre Primzahlenfundgrube, und das liegt daran, daß Primzahlen, welche nicht quadratisch in Z5 sind, die Werte dieser Funktion nicht teilen können, wie man unschwer beweist.
Und man sieht es natürlich auch sofort: 3 und 7 tauchen da einfach nicht als letzte Ziffer auf. Nun, nachdem man das und ((2x+1)2-5)/4=x2+x-1 hat, glaubt man schon, daß es immer so sein muß, und das muß es auch, es sei denn, beide Primzahlen sind von der Form 3+4n, aber was dann gilt, ist auch leicht genug zu erkennen.
Als ich heute auf den Gedanken kam, daß die Gaußschen Zahlen nützlich zu ihrem Beweis sein sollten, stieß ich Wikipedia sei Dank sofort auf ihren Namen und die Namen ihres Entdeckers und Beweisers.
Ironischerweise habe ich meinen Beitrag auch noch so genannt: Eine kleine Ergänzung. Es handelt sich dabei um den zweiten Ergänzungssatz des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. Im allgemeinen Fall stehe ich vor der nach dem Approximationslemma zu erwartenden Schwierigkeit, beweisen zu müssen, daß eine Primzahl nicht in allen Primzahlen, welche kleiner als sie sind, quadratisch sein kann. So absurd die Aussage auch ist, einen direkten Beweis versuche ich lieber nicht. Stattdessen erwuchs mir wie angedeutet die Hoffnung, daß es nützen könnte, statt p=1+4n ihre Teiler in Z[i] zu betrachten. Ob es wirklich nützt und auf welche Weise, sei mal dahingestellt, jedenfalls kann ich den Beweis jetzt jederzeit nachlesen, wenn es mir gefällt.
Nicht daß ich sicher bin, daß ich es auch tun werde, das Ganze war und ist eh nur Sport.
Ich weiß nicht, ob es Euler auch so ging, aber ich stieß auf das quadratische Reziprozitätsgesetz, als ich mich fragte, auf welche Weise ich ein paar Ulmen und ein paar mehr Eschen pflanzen sollte. Die Eschen sind seitdem fast alle eingangen, aber die Ulmen leben noch. Ich hatte also drei Ulmen und etliche Eschen zur Verfügung, welche in einer Ecke hier zu dicht wuchsen und umgepflanzt werden mußten, was, wie ich jetzt weiß, Eschen nicht sonderlich gefällt.
Ich entschied mich für folgendes Muster: E E U E E U E E U E E. Acht Eschen, drei Ulmen, elf Bäume oder allgemein betrachtet (x-1)(x+1)+x=x2+x-1.
Folgende Gesamtzahlen liefert dieses Muster also: 1,5,11,19,29,41,55,71,89,109,... Eine wahre Primzahlenfundgrube, und das liegt daran, daß Primzahlen, welche nicht quadratisch in Z5 sind, die Werte dieser Funktion nicht teilen können, wie man unschwer beweist.
Und man sieht es natürlich auch sofort: 3 und 7 tauchen da einfach nicht als letzte Ziffer auf. Nun, nachdem man das und ((2x+1)2-5)/4=x2+x-1 hat, glaubt man schon, daß es immer so sein muß, und das muß es auch, es sei denn, beide Primzahlen sind von der Form 3+4n, aber was dann gilt, ist auch leicht genug zu erkennen.
Labels: 04, mathematik
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23:26
