Eine kleine Ergänzung

Satz 1. Es sei p eine ungerade Primzahl. Genau dann ist 2 in Zp quadratisch, wenn entweder p oder -p in Z₈ quadratisch ist.

Beweis. Für p=1+4n habe ich das ja bereits bewiesen (siehe Über die vierten Wurzeln von -1/4 in gewissen Galoisfeldern). Betrachten wir nun die Funktion 2x²-1, so fällt auf, daß 2 genau in den Restklassenkörpern der Primfaktoren ihrer Werte quadratisch ist. Nach dem zuvor bewiesenen wissen wir, daß kein p=5+8n ein Teiler sein kann. Angenommen p=3+8n wäre ein Teiler, so gäbe es ein x<p/2, dessen Funktionswert von p geteilt wird. Der Kofaktor dabei ist einerseits kleiner als p, und andererseits muß er einen Primfaktor enthalten, welcher 3+8n oder 5+8n ist, da 1+8n und 7+8n eine Untergruppe von Z₈* bilden, in welcher die Werte von 2x²-1 liegen.

Aber wie schon gesagt, scheidet 5+8n aus,  also gibt es zu jedem Primfaktor 3+8n eines Funktionswertes einen kleineren Primfaktor 3+8n eines Funktionswertes, was spätestens bei 3 in einen Widerspruch mündet.

Um nun zu zeigen, daß 2 tatsächlich für jedes p=7+8n in Zp quadratisch ist, zeigen wir, daß -2 nicht in Zp quadratisch sein kann. Dazu betrachten wir die Funktion 2x²+1. Ihre Werte sind 1+8n oder 3+8n, und ihre Primfaktoren sind gerade jene Zahlen, in deren Restklassenkörpern -2 quadratisch ist. Wieder wissen wir, daß 5+8n als Primfaktor ausscheidet, und wenn ein Primfaktor 7+8n wäre, so ließe sich x wieder so wählen, daß der Kofaktor kleiner ist und dabei einen Primfaktor 7+8n enthalten muß, da auch 1+8n und 3+8n eine Untergruppe von Z₈* bilden, was wiederum spätestens bei 7 in einen Widerspruch mündet.