Ein kleines Lemma

Lemma 1. Es sei p=4n+1 und n=ab, wobei b-a=d und d=m²±1. Dann sind a und b quadratisch in Zp.

Beweis. Wir betrachten die Funktion x²+x-n über Z. Ihre Werte sind quadratisch in Zp und das Minimum der Parabel wird an der Stelle -0,5 angenommen, mithin ist sie also auch symmetrisch um diese Stelle. Ihr Wert an der Stelle -b beträgt b²-b-ab=-b(a+1-b) und an der Stelle a beträgt er a²+a-ab=a(a+1-b). Aber a+1-b=-d+1, und da -1 in Zp quadratisch ist, können wir stattdessen auch d-1 betrachten. Setzen wir m²+1 in den zweiten Ausdruck ein, so wird er quadratisch, und wenn wir -(m²-1) in den ersten einsetzen, was nur bedeutet, a und b zu vertauschen, so wird jener es ebenfalls.