Ein Approximationslemma

Lemma 1. Gegeben seien zwei teilerfremde Zahlen r<s, s ungerade. Sei a<s so gewählt, daß ar quadratisch in Z_s ist. Dann gibt es ein b<s und ein wahlweise gerades oder ungerades x<s, so daß x²=ar+bs.

Beweis. Laut Voraussetzung verschwindet x²-ar in Z_s und aufgrund der Symmetrie der Parabel in zwei Punkten x und s-x, von denen einer gerade und der andere ungerade ist. Es gilt also x²=ar+bs und b=(x²-ar)/s<s.

Bemerkung. Ist -r in Z_s quadratisch, so erhalten wir analog x²=bs-r, da b<s+r/s und somit allenfalls b=s gelten könnte, in welchem Fall aber (s-1)²=s²-2s+1≥x²=s²-r auf einen Widerspruch führt.