Algebra in Geometrie und Zahlentheorie

Zunächst möchte ich mich mit der Frage beschäftigen, welche Maße ein Pentagon hat.

Die Lösungen des Polynoms x⁵-1 in C spannen ein Pentagon auf. Es genügt, den Realteil der beiden Paare zu einander inverser Wurzeln anzugeben, um das Pentagon zeichnen zu können.

Wir können die Nullstelle 1 aus dem obigen Polynom entfernen und erhalten (x⁵-1)/(x-1) = x⁴+x³+x²+x+1.

Sei r eine Nullstelle dieses Polynoms, dann ist r^-1 ebenfalls eine Nullstelle dieses Polynoms und es gilt (x-r)(x-r^-1) = x²-(r+r^-1)x+1.

Wenn wir dies für beide Wurzelpaare bilden und a, b die Koeffizienten des jeweils linearen Monoms bezeichnen, so erhalten wir (x²+ax+1)(x²+bx+1) = x⁴+x³+x²+x+1.

Diese Gleichung läßt sich aber nur dann lösen, wenn es sich bei a, b um (1(+/-)5^½)/2 handelt, denn nur dann ist a+b=1 und ab=-1.

Nun, -(1+5^½)/2 < 0 und -(1-5^½)/2 > 0, also ist der Realteil der beiden linken Ecken des Pentagons durch -(1+5^½)/4 gegeben und der Realteil der beiden rechteren durch (5^½-1)/4, womit wir die aufgegebene Frage beantwortet hätten.

Lustigerweise verläuft der Beweis eines Spezialfalls des quadratischen Reziprozitätsgesetzes ganz genauso, nämlich wenn wir beweisen wollen, daß 5 in Z_q für jede Primzahl q mit q = 1 mod 5 quadratisch ist, also Quadratwurzeln in Z_q besitzt.

Jedenfalls wissen wir für ein solches q, daß x⁴+x³+x²+x+1 in Z_q vier verschiedene Nullstellen besitzt, vergleiche den kleinen Erzeugersatz. Und da es sich auch hier um die fünften Einheitswurzeln außer 1 handelt, ist jedes Inverse einer Nullstelle selbst wieder eine Nullstelle des Polynoms, wobei in Z_p, p prim, nur 1 und -1 zu sich selbst invers sind, da n²-1=(n+1)(n-1), was nur dann ein Vielfaches von p ist, wenn n = 1, p-1.

Wir bilden also wieder die x²-(r+r^-1)x+1 und bemerken, daß r+r^-1 = -(1(+/-)5^½)/2. Also ist 5 in Z_q quadratisch.