Kleiner Erzeugersatz

Satz 1. Es sei p eine beliebige Primzahl. Dann gibt es ein Polynom vom Grad (p-1), dessen Werte genau von p und den Primzahlen q=1+np geteilt werden.

Beweis. In einem Anfall überbordender Intelligenz betrachten wir (x^p-1)/(x-1)=x^(p-1)+x^(p-2)+...+x+1. Immerhin nimmt dieses Polynom in Zp nur die Werte 0 und 1 an. Und sonst? Genau dann besitzt es in Zq, q≠p, eine Nullstelle, wenn x^p-1 dort eine Nullstelle außer 1 besitzt. Dazu muß aber, mit Blick auf die Ordnungen der Elemente, p von einem Teiler von q-1 geteilt werden, welcher nicht 1 und also p ist. Und genau dann besitzt q-1 den Teiler p, wenn q=1+np gilt.

Korollar 1. Das quadratische Reziprozitätsgesetz gilt für p=3.

Beweis. Es gilt x²+x+1=((2x+1)²+3)/4 und letzteres verschwindet offenbar genau dann in Zq, wenn -3 in Zq quadratisch ist, womit das Reziprozitätsgesetz auch für alle q≠2 bewiesen ist.