Der Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes

Zum Abschluß des zuvor Bewiesenen, weiter nach Gauß.

Wir betrachten (Σ s(i)ζⁱ)^q, s(i) = i^(p-1)/2 mod p, in Z_q[ζ], wobei ζ eine primitive p-te Einheitswurzel sei. Ich hatte sie zuvor auf die in C kanonische Weise numeriert, aber da Z_q kein Unterkörper von C ist, möchte ich dies im folgenden nicht tun.

Nach der Multinomialformel

(a₁+...+a_n)ⁱ = Σ_{(Σk=1,...,n jk = n)} i!/(j₁!...j_n!) a₁^j₁...a_n^j_n, mit 0!=1,

ist

(Σ s(i)ζⁱ)^q = Σ s(i)ζ^iq = s(q)(Σ s(iq)ζ^iq) = s(q)(Σ s(i)ζⁱ),

also für quadratische q in Z_p die Summe Σs(i)ζⁱ invariant unter der q-ten Potenz.

Doch wir können nach dem zuvor Bewiesenen auch das Signum von (-1)^(p-1)/2p in Z_q mit in die Formel holen.

(Σ s(i)ζⁱ)^q = (Σ s(i)ζⁱ) ((-1)^(p-1)/2p)^(q-1)/2

Wenn also q in Z_p quadratisch ist, so ist (-1)^(p-1)/2p in Z_q quadratisch und umgekehrt.