Eine Bemerkung zur Dichte von Zahlen mit beschränkten Primfaktoren

Es sei p_n die n-te Primzahl. Dann ist p_n-3 eine obere Schranke für den Abstand jeglicher aufeinander folgender Zahlen kleiner als p_n² mit Primfaktoren aus { p₁, ..., p_n-1 }, sofern p_n≥11.

Beweis. Falls a ungerade ist, betrachten wir a², (a+1)(a-1), (a+3)(a-3), (a+1)(a-2), (a-1)². Die entsprechenden Abstände sind 1, 8, a-7, a-3. Und falls a gerade ist, betrachten wir a², (a+2)(a-2), a(a-1), (a+2)(a-3), (a-1)². Die entsprechenden Abstände sind 4, a-4, 6, a-7.

Post Scriptum vom folgenden Tag. Für p_n≥11 ist fernerhin eine obere Schranke durch 4((p_n-1)^1/2-1/2) gegeben.

Beweis. Die zu überbrückenden Abstände sind a², (a+1)(a-2), (a-1)² und a², a(a-1), (a-1)² und wenn diese wie oben angedeutet in Subintervalle unterteilt werden, so erhalten wir der Reihe nach folgende obere Schranken für die Subintervallgröße im entsprechenden zu überbrückenden Bereich: 4((a+2)^1/2-1), 4((a-1)^1/2-1/2), 4((a+1)^1/2-1), 4((a-1)^1/2-1/2).

Die hierbei betrachtete Folge: 1, 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 28, 30, 32, 36, 40, 48, 49, 50, 54, 56, 60, 64, 66, 70, 72, 80, 81, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 121, ... möge die quadratische multiplikative Progression heißen.