Beziehungserfassung

Das Geschäft der Mathematik besteht darin, Beziehungen zu erfassen, und diese Erfassung erfolgt in zwei Schritten:

1. Parametrisierung: Die Zuordnung einer Größe zu einer anderen, zu welcher sie in Beziehung steht.
2. Paragrammisierung: Die Gliederung der Vergleichsgrößen durch Vergleichsgliederungen.

Erstes Beispiel: Die Berechnung des Volumens durch die Determinante.

Die Parameter hier sind drei dreidimensionale Vektoren und das Volumen, die Vergleichsgliederungen werden zunächst durch die lineare Struktur eines Vektorraums gegeben. Indem wir uns erstmal um die Vorzeichenfrage, also um negative Volumen, drücken, stellen wir folgende drei Forderungen auf:

1. das Volumen ist multilinear, also linear als Funktion des ersten, zweiten oder dritten Vektors,
2. normiert, nimmt also den Wert 1 über den drei Einheitsvektoren entlang der drei Raumachsen an, und
3. invariant unter Rotationen.

Aufgrund der Multilinearität genügt es, die Rotation der beiden Einheitsvektoren der Ebene zu betrachten. Rotieren wir nun um 90°, so gehen e₁, e₂ auf e₂, -e₁ über, und wir ziehen die Reihenfolge der Vektoren als weitere Vergleichsgliederung heran, um die dritte Forderung durch die folgende zu ersetzen:

• das Volumen ist alternierend, ändert also bei der Vertauschung zweier Vektoren sein Vorzeichen.

Und daraus ergibt sich die Formel der Determinante auch schon auf eindeutige Weise:

u₁v₂w₃+v₁w₂u₃+w₁u₂v₃-w₁v₂u₃-v₁u₂w₃-u₁w₂v₃

Zweites Beispiel: Stetige Funktionen.

Funktionen sind bereits parametrisiert, lassen sich aber darauf aufbauend auch noch anders parametrisieren, und hier geschehe das also durch f^-1(U), wodurch jeder Menge des Bildraums die Menge der Urbilder ihrer Elemente zugeordnet wrd. Die Vergleichsgliederungen der Parameter werden durch die Struktur der Topologie auf der Menge der Mengen der Elemente des Bild- und Urbildraumes gegeben. Ein Beispiel dafür, was sich damit konkret anstellen läßt, liefert der Jordan'sche Kurvensatz.

Drittes Beispiel: Das Auflösen von Polynomen durch sukzessives Wurzelziehen.

Die Parametrisierung hierbei ist recht verwegen, indem Wurzelzeichen in Lösungsformeln die relativen Automorphismengruppen von Körpererweiterungen zugeordnet werden, also jene Automorphismen, welche den Unterkörper invariant lassen, und die Paragrammisierung erfolgt durch die Einbettung dieser Erweiterungen als Schritte in der Erweiterung des Körpers Q(u_i) zu Q(v_i), wobei die v_i die Lösungen des Polynoms mit den Koeffizienten u_i sind. Ob die u_i und v_i hierbei als Symbole oder als Zahlen verstanden werden, hängt von der konkret gestellten Aufgabe ab. Der Witz bei der Einbettung der so genannten Galoisgruppen besteht in beiden Fällen darin, daß, wenn ein Körper nur durch sukzessive Adjunktion jeweils aller mit einander konjugierten Lösungen eines irreduziblen Polynoms aus Q(u_i) entsteht, die dabei entstehenden Teilkörper von jedem Automorphismus eines ebensolchen Oberkörpers auf sich selbst abgebildet werden müssen, da es keine weiteren konjugierten Elemente mehr in ihm geben kann.

Handelt es sich bei den u_i und den v_i um Symbole, so ist die Galoisgruppe von Q(v_i) über Q(u_i) isomorph zur symmetrischen Gruppe S_n des Grades n des irreduziblen Polynoms Σ_i u_ix, welches Q(v_i) erzeugt. Und also dient die Gruppenstruktur von S_n als Vergleichsgliederung der Automorphismengruppe, und genau dann, wenn sie sich in zyklische Quotientengruppen zerlegen läßt, gibt es eine allgemeine wurzelbasierte Lösungsformel für Polynome des Grades n. Näheres für n=3 hier (die Numerierung der ui dort ist der hiesigen der u_i genau entgegengesetzt, also ui = u_n-i).

Wir sehen also, daß, wenn wir eine Beziehung erfassen wollen, es stets darauf ankommt, Parameter und Vergleichsgliederungen ihrer zu finden, welche der Beziehung in dem Sinne angepaßt sind, daß sie es erlauben, dasjenige festzuhalten, um was es uns bei der Beziehung geht; sei es das Anwachsen des Volumens, die Stetigkeit der Funktion oder die Äquivalenz der Körpererweiterung durch Wurzeln oder ein irreduzibles Polynom.

Glieder werden die Parameter dabei stets als Gegenstände weiterer Beziehungen, doch intuitiver ist es wohl, den Parameterraum als durch dieselben gegliedert zu betrachten;

• durch Vektoraddition,
• durch Berührungspunkte oder
• durch Automorphismenverknüpfung.

Nun denn, derart erfassen wir also Beziehungen, sowohl innerhalb der Mathematik, als auch außerhalb, und jede derartige Vergleichsgliederung von Parametern erweitert unser Verständnis der zugrundeliegenden Beziehungen.