Der Jordansche Kurvensatz
Wir betrachten stetige geschlossene Wege γ:[0,1]->R2*=R2\(0,0). Da [0,1] kompakt ist, nähert sich γ dem Ursprung weder beliebig an, noch entfernt er sich beliebig von ihm. Wir können also (x1, x2) stetig durch φ=(x1, x2)/(x12+x22)1/2 ersetzen und α|->(α,φ) betrachten. Diese Schraube hat endlich viele Windungen, denn andernfalls müßten die Abstände zwischen zwei Windungen beliebig klein werden und die Abbildung wäre nicht mehr stetig. Also können wir die Windungen zählen, wobei wir wie üblich eine Windung gegen den Uhrzeigersinn zur Anzahl addieren und eine Windung im Uhrzeigersinn von der Anzahl subtrahieren.
Wir versehen den Raum der stetigen geschlossenen Wege γ mit der gleichmäßigen Konvergenz. Die Menge der Wege γ einer Windungszahl z aus Z ist offen und als Komplement einer offenen Menge auch abgeschlossen. Um die Offenheit einzusehen genügt es, die offene Umgebung in [0,1] einer Windung zu betrachten und den Zwischenwertsatz auf (α,0°+ε), (α,90°+ε), (α,180°+ε) und (α,270°+ε) anzuwenden: es gibt dabei im wesentlichen zwei Fälle, entweder zwei Windungen desselben Sinnes folgen aufeinander, in welchem Fall eine punktweise Verschiebung um ε die Vollendung der Windung nicht beeinträchtigen kann, oder zwei Windungen entgegengesetzen Sinnes folgen aufeinander, in welchem Fall die Verschiebung zwar die Vollendung der ersten verhindern kann, mit ihr zusammen dann aber auch die Vollendung der zweiten, so daß die Gesamtwindungszahl unverändert bleibt. Ohne Einschränkung beginne und ende ein geschlossener Weg dabei in 0°.
Also können Wege einer Windungszahl nicht stetig in Wege einer anderen Windungszahl überführt werden. [Natürlich etwas albern, den Zwischenwertsatz zu bemühen, wenn ich es als bekannt voraussetze, daß das Bild einer zusammenhängenden Menge zusammenhängend ist und eine Menge, welche wegzusammenhängend ist, zusammenhängend ist.]
Andererseits handelt es sich bei den Mengen der Wege einer Windungszahl auch schon um die Zusammenhangskomponenten des Raumes der stetigen geschlossenen Wege in R2*, da es nicht schwerfällt, eine Schraube einer Windungszahl stetig in eine andere Schraube derselben Windungszahl zu überführen, von der stetigen Überführung von (x1, x2) zu φ ganz zu schweigen.
Der Fundamentalsatz der Algebra
Wenn wir xn über einem hinreichend großen Kreis um 0 herum betrachten, so ist einerseits n die Windungszahl von xn und andererseits bleibt an-1xn-1+...+a0 hinreichend klein, um den Weg von xn stetig durch β|->xn+β(an-1xn-1+...+a0) zum Weg von xn+an-1xn-1+...+a0 in C* zu überführen, und wenn n ungleich 0 ist, muß die stetige Kontraktion des hinreichend großen Kreises auf den Ursprung also den dabei entstehenden Weg über die 0 ziehen.
Wir versehen den Raum der stetigen geschlossenen Wege γ mit der gleichmäßigen Konvergenz. Die Menge der Wege γ einer Windungszahl z aus Z ist offen und als Komplement einer offenen Menge auch abgeschlossen. Um die Offenheit einzusehen genügt es, die offene Umgebung in [0,1] einer Windung zu betrachten und den Zwischenwertsatz auf (α,0°+ε), (α,90°+ε), (α,180°+ε) und (α,270°+ε) anzuwenden: es gibt dabei im wesentlichen zwei Fälle, entweder zwei Windungen desselben Sinnes folgen aufeinander, in welchem Fall eine punktweise Verschiebung um ε die Vollendung der Windung nicht beeinträchtigen kann, oder zwei Windungen entgegengesetzen Sinnes folgen aufeinander, in welchem Fall die Verschiebung zwar die Vollendung der ersten verhindern kann, mit ihr zusammen dann aber auch die Vollendung der zweiten, so daß die Gesamtwindungszahl unverändert bleibt. Ohne Einschränkung beginne und ende ein geschlossener Weg dabei in 0°.
Also können Wege einer Windungszahl nicht stetig in Wege einer anderen Windungszahl überführt werden. [Natürlich etwas albern, den Zwischenwertsatz zu bemühen, wenn ich es als bekannt voraussetze, daß das Bild einer zusammenhängenden Menge zusammenhängend ist und eine Menge, welche wegzusammenhängend ist, zusammenhängend ist.]
Andererseits handelt es sich bei den Mengen der Wege einer Windungszahl auch schon um die Zusammenhangskomponenten des Raumes der stetigen geschlossenen Wege in R2*, da es nicht schwerfällt, eine Schraube einer Windungszahl stetig in eine andere Schraube derselben Windungszahl zu überführen, von der stetigen Überführung von (x1, x2) zu φ ganz zu schweigen.
Der Fundamentalsatz der Algebra
Wenn wir xn über einem hinreichend großen Kreis um 0 herum betrachten, so ist einerseits n die Windungszahl von xn und andererseits bleibt an-1xn-1+...+a0 hinreichend klein, um den Weg von xn stetig durch β|->xn+β(an-1xn-1+...+a0) zum Weg von xn+an-1xn-1+...+a0 in C* zu überführen, und wenn n ungleich 0 ist, muß die stetige Kontraktion des hinreichend großen Kreises auf den Ursprung also den dabei entstehenden Weg über die 0 ziehen.
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19:14
