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8. März 2024

φ- und π-Funktion

Wie ich bereits sagte, gilt φ(Πi≤n pi) = Πi≤n (pi-1), wobei φ(N) die zu N teilerfremden Zahlen kleiner als N zählt, das heißt die Einheiten in ZN, wohingegen π(N) die Primzahlen zählt, welche kleiner oder gleich N sind.

Nach dem Primzahlsatz gilt, daß π(N)log(N)/N für hinreichend große N gegen 1 konvergiert. Ich werde in diesem Beitrag zeigen, daß
  1. der Anteil der Einheiten an ZΠi≤n pi, für hinreichend große n gegen 0 konvergiert und daß
  2. das Verhältnis des Anteils der Einheiten an ZΠi≤n pi, zu 1/log(Πi≤n pi) für hinreichend große n gegen 1 konvergiert.
Ad 1. Es gilt:
n>0 1/n = Πp (n≥0 p-n) = Πp p/(p-1)
und da erstere Reihe wie der Logarithmus mit wachsendem n gegen geht, tut es auch das letztere Produkt, so daß sein Kehrwert gegen 0 konvergiert.

Ad 2. Das Verhältnis von iΠi≤n pi 1/i zu log(Πi≤n pi) konvergiert gegen 1 und das von iΠi≤n pi 1/i zu Πi≤n pi/(pi-1) auch, da die überschüssigen Potenzen der geometrischen Reihen mit steigendem n zunehmend weniger ins Gewicht fallen. Somit konvergiert φ(Πi≤n pi)log(Πi≤n pi)/i≤n pi) gegen 1 und nach dem Primzahlsatz auch φ(Πi≤n pi)/π(Πi≤n pi), wobei es aufgrund der Tatsache, daß nur die pi Primzahlen kleiner als Πi≤n pi sind, welche keine Einheiten in ZΠi≤n pi sind und n gegenüber Πi≤n (pi-1) vernachlässigbar ist, trivial ist, daß φ(Πi≤n pi)/π(Πi≤n pi) nur Häufungspunkte größer oder gleich 1 haben kann.

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