Die Ontologie des Stoßes

Nehmen wir einmal an, jemand stellte sich auf den Standpunkt, daß am Anfang aller Dinge der Stoß sei.

So ein Stoß hat offensichtlich zwei Eigenschaften:

1. findet er an einem Ort x statt, und
2. erfolgt er nach dem Maß eines Vektors p mit einer gewissen Stärke in eine gewisse Richtung,
   

so daß wir ihn also durch das Paar (x, p) modellieren können, wobei p = mv auch Impuls genannt wird.

Aufgrund der Tatsache, daß wir ohne Stöße weder wirken, noch wahrnehmen können, und daß unser ganzes Weltbild also Stöße extrapoliert und justiert, wobei sich kleinere Stöße zu größeren verbinden und größere in kleinere zerfallen, steht es zu erwarten, daß wir keine Gewißheit über die ersten, elementarsten Stöße erlangen können, in deren Folge alle weiteren Stöße erfolgen.

In der Tat zeigt es sich, daß unser Paar (x, p) für die kleinsten uns bekannten Stöße nur statistisch bekannt ist, und daß seine genaueste Erfassung in Form einer komplexwertigen, quadratisch integrierbaren (L²-) Funktion x erfolgt, deren quadratischer Absolutwert (xx*) an einem Ort die dortige Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt, daß der Stoß dort stattfindet, und deren Fouriertransformierte p also ebenfalls eine komplexwertige quadratisch integrierbare Funktion (desselben Betrags im Hilbertraum L²) darstellt, deren quadratischer Absolutwert (pp*) über einem Impulsvektor die Wahrscheinlichkeitsdichte um ihn herum darstellt, daß der Stoß nach seinem Maß erfolgt.

Da die Inverse der Fouriertransformation ihre Konjugierte ist, ist x umgekehrt die Fouriertransformierte von p*, und wir erhalten das Paar (x, p) sowohl aus x, als auch aus p durch Fouriertransformation (und Konjugation).

Um nun zu beschreiben, wie ein Experiment einen Stoß ändert, verwenden wir eine relative Wahrscheinlichkeitstransformationsmatrix, beziehungsweise einen solchen Operator. Eine absolute Wahrscheinlichkeitstransformationsmatrix wird auch Bayes-Matrix genannt. Ihre Elemente b_n,m geben die durch m bedingte Wahrscheinlichkeit dafür an, daß n eintritt, und die Summe der Elemente jeder ihrer Spalten ist also 1.

Da x und p aber L²- und nicht L¹- (einfach integrierbar: integrierbarer Betrag, anstatt integrierbares Betragsquadrat) Funktionen sind, können wir keine Bayes-Matrices gebrauchen. Damit die Anwendung einer Matrix auf einen Vektor, dessen Komponenten nicht Wahrscheinlichkeiten darstellen, sondern die quadratischen Wurzeln von Wahrscheinlichkeiten, zu den Wurzeln von bedingten Wahrscheinlichkeiten führen kann, muß die Matrix diagonal sein. Und damit auch andere Matrices als die Identität betrachtet werden können, muß auf die Bedingung, daß die Betrag der Bildvektoren 1 ist, verzichtet werden, womit die Matrix also keine absolute Wahrscheinlichkeitstransformation mehr angibt, sondern eine relative, welche allerdings wieder zu einer absoluten führt, wenn die Komponenten des Bildvektors durch seinen Betrag geteilt werden.

Wenn nun die Dirac-Maße von R³ (salopp gesprochen seine Punkte) die Basisvektoren des L¹(R³) erweiternden Dualraums der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger sind, so handelt es sich bei den auf L¹(R³) eingeschränkten diagonalen Matrices über ihr schlicht um die Lebesgue-meßbaren beschränkten (L^∞-) Funktionen über R³, welche durch Multiplikation auch über L²(R³) operieren (und außer ihnen nichts in der Funktion von relativen Wahrscheinlichkeitstransformationen).

So lange der Effekt eines Experiments also darin besteht, x oder p mit einer komplexwertigen L^∞-Funktion zu multiplizieren, können wir es also modellieren. Zum Beispiel, wenn wir den Einfluß eines Doppelspalts auf einen Stoß betrachten, können wir durch die Phase φ der Polardarstellung einer komplexen Zahl c=l exp(iφ) die Phasen der hinter den Spalten liegenden Punkte der den Stoß modellierenden Welle x retardieren und durch ihre Länge l die Amplitude von x vermindern (etwa unter Anwendung des Huygens-Fresnel'schen Prinzips, wobei ich mich nicht von dessen mathematischer Stichhaltigkeit überzeugt habe).

Es ist aber folgendes zu beachten: Die einzigen Operatoren, welche diagonal über x und p operieren, sind Vielfache der Identität. Die Fouriertransformation zerstört die Diagonalität der übrigen Matrices und damit ihre Deutbarkeit als relative Wahrscheinlichkeitstransformationen. Folglich ist zu jedem Experiment und jedem es modellierenden Operator A anzugeben, ob A in bezug auf x oder auf p diagonal ist, denn nur wenn A diagonal ist, ist A beobachtungstreu im Sinne der Übereinstimmung seiner Elemente a_n,m mit den beobachtbaren statistischen Häufigkeiten.

Tatsächliche Vertreter der Stoßontologen waren beispielsweise Max Born, Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg und Paul Dirac.

Warnung. Die hiesige Darstellung verzichtet auf die Berücksichtigung des Plank'schen Wirkungsquantums, welches dafür sorgt, daß der Graph der Fouriertransformierten vertikal gestreckt und horizontal quadratisch dazu gestaucht wird.