Zur rationalen Approximation der quadratischen Wurzel von n/(n-1)

Leichter als die Approximation der Wurzeln ganzer Zahlen ist die Approximation der Wurzeln von Brüchen der Form n/(n-1).

Eine Lösung der Gleichung nx²-(n-1)y²=1 finden wir immer, nämlich x=1 und y=1.

Um die Approximation zu verbessern, betrachten wir wieder x'=ax+by und y'=cx+dy mit nx'²-(n-1)y'²=nx²-(n-1)y². Über Koeffizientenvergleich gelangen wir zu

• na²-(n-1)c²=n
• nb²-(n-1)d²=-(n-1)
• nab=(n-1)cd

und daraus durch Einsetzen zu

• nb²+(n-1)=(n-1)a².

Damit können wir die Lösung überprüfen, also

• a=2n-1
• b=2n-2
• c=2n
• d=2n-1.

Es gilt

• a=d
• (n-1)(2n-1)²=(n-1)(4n²-4n+1)=(n-1)+n(4n²-8n+4)
• n(2n-1)²-n=n(4n²-4n)=4n²(n-1),

quod erat demonstrandum.

n=2. a=3, b=2, c=4, d=3. (1,1), (5,7), (29,41), (169,239), ... y/x -> 2^1/2.

n=3. a=5, b=4, c=6, d=5. (1,1), (9,11), (89,109), (881,1079), ... y/x -> (3/2)^1/2.