Das egalitäre Theater

Wenn die Bühne denselben Teil des Gesichtsfeldes eines jeden Besuchers ausfüllen soll, wie müssen die Sitze dann angeordnet sein?

In einem Kreisabschnitt, dessen abschließende Sehne die Bühne ist. Seien α, β, γ jeweils die äußeren Winkel der Teildreiecke. Es gilt α+β+γ=90°. Folglich, wenn ein Winkel gleich bleibt, dann auch die Summe der anderen beiden. Im Fall γ=0° reduziert sich die Gleichung zu α+β=90°, und wir erhalten den Satz des Thales. Außerdem ist 2(α+β)=180°-2γ, was der so genannte Kreiswinkelsatz ist.

Und damit genug der elementar geometrischen Anwendung.

Post Scriptum vom selben Tag. Ungern nur beließe ich den Beweis unvollständig. Also sei folgendes nachgetragen.

γ bezeichne die äußeren Winkel des schwarzen Dreiecks, β die äußeren Winkel der schwarzen Katheten über der roten Hypotenuse und α die äußeren Winkel der schwarzen Katheten rechts von der roten Hypotenuse.

Der Winkel des Gesichtsfeldes, also zwischen den roten Katheten über der schwarzen Hypotenuse, ergibt sich somit als α-β.

Andererseits ist 2α+2γ+180°-2β=360°, also 2(α-β)=180°-2γ.

Und zu guter letzt betrachten wir noch dieses.

Da ein Viereck stets eine Summe von Innenwinkeln von 360° hat, ergibt sich der untere Blickfeldwinkel dadurch, den oberen Blickfeldwinkel von 180° abzuziehen, denn nach dem Satz von Thales hat jedes der hier betrachteten Vierecke zwei rechte Winkel.