Exponentialtangenten

Analog zur Definition der linearen Tangente

(f(x+h)-f(x))/h

definieren wir die Exponentialtangente

(f(x+h)/f(x))^1/h.

Der Wert der Exponentialtangente gibt die Basis b an, für welche lokal f(x)~b^x gilt.

Beim Studium von Flüssen dürften Exponentialtangenten eine Rolle spielen, wobei die Multiplikation durch die Funktionsverknüpfung gegeben wird. Am einfachsten ist das Beispiel eines linear um eine Achse rotierenden Flusses, in welchem Fall f(x,t)=(aⁱ_j)^tx^j mit der üblichen Summationskonvention für Indizes und einer konstanten Rotationsmatrix A gilt, welche den konstanten Wert der Exponentialtangente des Flusses f(t) = f_t (Funktionscurrying) darstellt.

Auch beim Zulaufen eines inkompressiblen Flusses in einer Düse tritt, sofern sich die Schnittfläche S der Düse in sich verdoppelnden Abständen halbiert* und der Fluß über S = {(1,x)} zur Zeit t=0 parametrisiert wird, eine konstante Stauchstreckungsmatrix als Wert der Exponentialtangente auf (also exponentielle Beschleunigung, von welcher mancher bei diesem Wetter versucht sein wird, Gebrauch zu machen, wozu es auch nicht mehr als des Daumens und des Zeigefingers bedarf).

Nun denn, das ist nicht gerade viel, und ich würde wirklich gerne die Änderung der polaren Darstellung (A=(AA*)^1/2U) unter A^t wenigstens im zweidimensionalen Fall allgemein betrachten, aber die Formeln sehen allzu unfreundlich aus. Dennoch, unterschlagen möchte ich die vorstehende Betrachtung auch nicht.

* Im Zweidimensionalen wird die Düsenform also durch {(x,c/x),(x,-c/x)} gegeben, da exp((log(1/s)/log(s))log(x)) = exp(-log(x)) = 1/x ist, und im n-Dimensionalen durch den Radius c/x^1/(n-1) an der Stelle x, falls die Düse rotationssymmetrisch ist.