Hauptparabolische Primzahlbasen
Definition. p prim heiße eine hauptparabolische Primzahlbasis, wenn x2+x+p über {0,1,...,p-2} nur Primzahlen annimmt.
Behauptung. Es gibt genau sechs verschiedene hauptparabolische Primzahlbasen, nämlich 2, 3, 5, 11, 17, 41.
Entscheidungsverfahren. Man überprüfe zunächst, daß dies hauptparabolische Primzahlbasen sind, dann, daß es bis 2*3*5=30 keine weiteren gibt. Das voranstehende Produkt heißt Primfakultät, in diesem Falle von 5. Man betrachte nun immer wieder die Vielfachen der gerade behandelten Primfakultät und addiere jene hauptparabolischen Primzahlbasen(kandidaten) zu ihr, welche nicht in ihr auftreten. Anfänglich sind nur die hauptparabolischen Primzahlbasen selbst Kandidaten, später nehmen wir jene Primzahlen hinzu, welche nur deshalb keine hauptparabolischen Primzahlbasen sind, weil die fraglichen Werte von x2+x+p nur solche Primfaktoren besitzen, welche nicht in der als nächste behandelten Primfakultät auftreten. Im ersten Schritt erhalten wir also folgende Kandidaten: 101, 137, 167. Wenn wir mit einer Primfakultät fertig sind, behandeln wir die nächste, wobei ein anfänglicher Kandidat am Ende ihrer Behandlung nur dann Kandidat bleibt, wenn er die voranstehende Bedingung weiterhin erfüllt. Wenn uns die Kandidaten ausgehen, haben wir die Behauptung bewiesen, sobald wir die Primfakultät von 41
(Dummerhaftige) Anwendung. 40 Primzahlen lassen sich an einer Parabel ablesen:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131,
151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421,
461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911,
971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601.
Behauptung. Es gibt genau sechs verschiedene hauptparabolische Primzahlbasen, nämlich 2, 3, 5, 11, 17, 41.
Entscheidungsverfahren. Man überprüfe zunächst, daß dies hauptparabolische Primzahlbasen sind, dann, daß es bis 2*3*5=30 keine weiteren gibt. Das voranstehende Produkt heißt Primfakultät, in diesem Falle von 5. Man betrachte nun immer wieder die Vielfachen der gerade behandelten Primfakultät und addiere jene hauptparabolischen Primzahlbasen(kandidaten) zu ihr, welche nicht in ihr auftreten. Anfänglich sind nur die hauptparabolischen Primzahlbasen selbst Kandidaten, später nehmen wir jene Primzahlen hinzu, welche nur deshalb keine hauptparabolischen Primzahlbasen sind, weil die fraglichen Werte von x2+x+p nur solche Primfaktoren besitzen, welche nicht in der als nächste behandelten Primfakultät auftreten. Im ersten Schritt erhalten wir also folgende Kandidaten: 101, 137, 167. Wenn wir mit einer Primfakultät fertig sind, behandeln wir die nächste, wobei ein anfänglicher Kandidat am Ende ihrer Behandlung nur dann Kandidat bleibt, wenn er die voranstehende Bedingung weiterhin erfüllt. Wenn uns die Kandidaten ausgehen, haben wir die Behauptung bewiesen, sobald wir die Primfakultät von 41
2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41 = 304.250.263.527.210erreicht haben. Allzu viele Schritte sind es nicht bis dahin, da wir ja nur die Vielfachen der jeweils vorangegangenen Primfakultäten betrachten, aber die Primfaktorermittlung gestaltet sich aufwendig (ich schätze, daß es bis dahin einer Tabelle der ersten 100 Milliarden Primzahlen bedarf - jedenfalls haben 100 bis 210 gereicht, 1000 bis 2310, 10000 bis 30030 und 100000 bis 510510). Es würde mich aber nicht wundern, wenn uns die Kandidaten nicht ausgehen, doch sehr wohl wundern, wenn dies zu mehr als einer geringfügigen Erhöhung der zu behandelnden Primfakultäten führen sollte.
(Dummerhaftige) Anwendung. 40 Primzahlen lassen sich an einer Parabel ablesen:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131,
151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421,
461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911,
971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601.
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