Einige Eigenschaften von Z[i]
Ich beschränke mich im folgenden darauf, das zu beweisen, was nicht völlig trivial ist.
Satz 1. Z[i] ist ein euklidischer Ring, welcher die folgenden Primzahlen besitzt (eindeutig bis auf Einheiten): 1+i, p=3+4n, a+ib, wobei a2+b2=p=1+4n und es für jedes p genau ein paar konjugierter Primzahlen gibt.
Beweis. Erster Teil. (a+ic)(b-id)/(b2+d2)=((ab+cd)+i(bc-ad))/(b2+d2) ist eine komplexe Zahl vom quadratischen Betrag (a2+c2)/(b2+d2), und wir finden immer eine Zahl aus Z[i], deren quadratischer Abstand zu ihr kleiner oder gleich 1/2 ist, denn (1/2)2+(1/2)2=1/2. Wenn wir diese Zahl nun mit b+id multiplizieren, so folgt aus dem Distributivgesetz, daß der quadratische Abstand des Produkts zu a+ic kleiner oder gleich (b2+d2)/2 ist.
Zweiter Teil. Angenommen n=(a+ic)(b-id), dann ad=bc oder auch a/c=b/d, da wir uns ja nicht für reelle Zerlegungen interessieren. Die Zahlen a+ic und b+id sind also bis auf einen rationalen Faktor die Konjugierten von einander, und was diesen Faktor angeht, stehe er vor b-id, dann muß sein Nenner ein gemeinsamer Teiler von b und d sein. Indes, wenn eine Zahl b und d teilt, dann teilt sie auch n. Schreibt man den Faktor vor a+ic folgt analog, daß auch der zuerst betrachtete Zähler n teilt, und also ist der Faktor für den Fall, daß n eine Primzahl ist, 1. Dann gilt aber n=a2+c2, also n=1+4m.
Dritter Teil. Wir betrachten eine Zahl a+ib. Falls a2+b2 gerade ist, so auch a+b und b-a und es gilt (a+ib)(1-i)/2=(a+b)/2+i(b-a)/2. Offenbar kann a2+b2 keinen Teiler p=3+4n enthalten, denn dann wäre -1 in Zp quadratisch. Bleiben also nur noch Faktoren p=4n+1. Sei p=c2+d2 einer. Bei geeigneter Wahl ist c/d=a/b in Zp, denn (c/d)2=(a/b)2=-1 in Zp. Also gehen a und b in Zp durch Multiplikation mit einem festem Faktor aus c und d hervor, und damit liegt (a+ib)(c-id)/p=(ac+bd)/p+i(bc-ad)/p in Z[i].
Bemerkung. Die Z[i]p, p prim in Z[i], sind Körper, wie in jedem euklidischen Ring. Z[i]1+i ist isomorph zu Z2, Z[i]a+ib zu Za2+b2 und Z[i]3+4n zu Z3+4n[i].
Beweis. Zur zweiten Isomorphie. i sei auf die passende Quadratwurzel w von -1 in Za2+b2 abgebildet, also so, daß a+wb in Za2+b2 verschwindet. Diese Abbildung liefert einen wohldefinierten Ringhomomorphismus von Z[i] auf Za2+b2, dessen Kern (a+ib) enthält. Aber das Ideal (a+ib) ist maximal und 1 liegt nicht im Kern des Ringhomomorphismusses. Also stimmen Ideal und Kern überein.
Satz 1. Z[i] ist ein euklidischer Ring, welcher die folgenden Primzahlen besitzt (eindeutig bis auf Einheiten): 1+i, p=3+4n, a+ib, wobei a2+b2=p=1+4n und es für jedes p genau ein paar konjugierter Primzahlen gibt.
Beweis. Erster Teil. (a+ic)(b-id)/(b2+d2)=((ab+cd)+i(bc-ad))/(b2+d2) ist eine komplexe Zahl vom quadratischen Betrag (a2+c2)/(b2+d2), und wir finden immer eine Zahl aus Z[i], deren quadratischer Abstand zu ihr kleiner oder gleich 1/2 ist, denn (1/2)2+(1/2)2=1/2. Wenn wir diese Zahl nun mit b+id multiplizieren, so folgt aus dem Distributivgesetz, daß der quadratische Abstand des Produkts zu a+ic kleiner oder gleich (b2+d2)/2 ist.
Zweiter Teil. Angenommen n=(a+ic)(b-id), dann ad=bc oder auch a/c=b/d, da wir uns ja nicht für reelle Zerlegungen interessieren. Die Zahlen a+ic und b+id sind also bis auf einen rationalen Faktor die Konjugierten von einander, und was diesen Faktor angeht, stehe er vor b-id, dann muß sein Nenner ein gemeinsamer Teiler von b und d sein. Indes, wenn eine Zahl b und d teilt, dann teilt sie auch n. Schreibt man den Faktor vor a+ic folgt analog, daß auch der zuerst betrachtete Zähler n teilt, und also ist der Faktor für den Fall, daß n eine Primzahl ist, 1. Dann gilt aber n=a2+c2, also n=1+4m.
Dritter Teil. Wir betrachten eine Zahl a+ib. Falls a2+b2 gerade ist, so auch a+b und b-a und es gilt (a+ib)(1-i)/2=(a+b)/2+i(b-a)/2. Offenbar kann a2+b2 keinen Teiler p=3+4n enthalten, denn dann wäre -1 in Zp quadratisch. Bleiben also nur noch Faktoren p=4n+1. Sei p=c2+d2 einer. Bei geeigneter Wahl ist c/d=a/b in Zp, denn (c/d)2=(a/b)2=-1 in Zp. Also gehen a und b in Zp durch Multiplikation mit einem festem Faktor aus c und d hervor, und damit liegt (a+ib)(c-id)/p=(ac+bd)/p+i(bc-ad)/p in Z[i].
Bemerkung. Die Z[i]p, p prim in Z[i], sind Körper, wie in jedem euklidischen Ring. Z[i]1+i ist isomorph zu Z2, Z[i]a+ib zu Za2+b2 und Z[i]3+4n zu Z3+4n[i].
Beweis. Zur zweiten Isomorphie. i sei auf die passende Quadratwurzel w von -1 in Za2+b2 abgebildet, also so, daß a+wb in Za2+b2 verschwindet. Diese Abbildung liefert einen wohldefinierten Ringhomomorphismus von Z[i] auf Za2+b2, dessen Kern (a+ib) enthält. Aber das Ideal (a+ib) ist maximal und 1 liegt nicht im Kern des Ringhomomorphismusses. Also stimmen Ideal und Kern überein.
Labels: 04, mathematik
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22:40
