Bewußtsein und Normalteilerketten symmetrischer Gruppen

Ich habe so manches Mal über die Eigenschaft von S₃ nachgedacht via C₃ Richtung und Phase zu implizieren, in Tabellenform:

• (1,2,3): vorwärts, 0
• (2,3,1): vorwärts, 1
• (3,1,2): vorwärts, 2
• (1,3,2): rückwärts, 0
• (3,2,1): rückwärts, 1
• (2,1,3): rückwärts, 2
  

Dies findet im Eigenlauf des Ichs Anwendung, mit den Elementen wahrnehmen, wollen und tun und den Richtungen agierend und reagierend. Nun ja, das ist nicht ganz sauber, weil es nicht die tatsächliche Abfolge der Elemente beschreibt, sondern den Prozeß ihrer Planung, reagierend wird das jeweils letzte Element im Vergleich zur Aktion vorgezogen:

• empfangen (wahrnehmen, wollen, tun): agierend, 0
• verfolgen (wollen, tun, wahrnehmen): agierend, 1
• studieren (tun, wahrnehmen, wollen): agierend, 2
• beholfen sein (wahrnehmen, tun, wollen): reagierend, 0
• betroffen sein (tun, wollen, wahrnehmen): reagierend, 1
• bedrängt sein (wollen, wahrnehmen, tun): reagierend, 2

Heute nun habe ich mir erstmals ernsthaft die Frage gestellt, wie sich dies auf S₄ verallgemeinern ließe. Gesucht ist eine Normalteilerkette, welche auf eine Gruppenzerlegung führt, mit welcher wir im bezug auf das menschliche Bewußtsein etwas anfangen können.

Explizit haben wir eben S₃ durch C₃ = A₃ zerlegt, wobei S_n die Gruppe der Permutationen von n Elementen ist (ihre so genannte symmetrische Gruppe), C_n die im folgenden nicht weiter interessante so genannte zyklische Gruppe von n Elementen und A_n die so genannte alternierende Gruppe von n Elementen. Geometrisch betrachtet handelt es sich bei S_n um die Untergruppe aller linearen Isometrien von R^n-1, welche die Ecken eines n-eders (n>3) oder n-gons (n=3) auf einander überführen, und bei A_n um die Untergruppe der entsprechenden Rotationen. Die Faktoren der Zerlegung waren also S₃/A₃ = S₂ und A₃, wovon der erste zu den Richtungen isomorph ist und der zweite zu den Phasen. Freilich mag man eine Gruppenstruktur auf den Richtungen für albern halten, doch rückwärts*rückwärts=vorwärts gilt jedenfalls, und vertretbarerweise tut es auch reagierend*reagierend=agierend, denn werden Aktion und Reaktion auf der Basis der Reflexion des eigenen Verhaltens betrachtet, so behält die Aktion den reflektierten Kurs bei, während ihn die Reaktion umkehrt.

Wie also ließe sich wohl S₄ zerlegen? Nun, es gibt wirklich nur eine interessante Zerlegung, ohne daß ich im einzelnen ausführen möchte, was an den anderen nicht interessant ist. Es handelt sich um die Zerlegung in V₄ und S₄/V₄ = S₃, wobei V₄ die so genannte Klein'sche Vierergruppe ist, welche geometrisch gesehen aus jenen Rotationen des Tetraeders besteht, welche zu sich selbst invers sind, also neben der Identität von den Drehungen um 180° um die Achsen, welche die Mittelpunkte zweier einander gegenüberliegender Kanten des Tetraeders verbinden, gebildet werden.

Die Gruppenstruktur von V₄ ist ein Dreinegationenverband, das heißt, wenn V₄ = {1,a,b,c}, daß e²=1 für alle Elemente e und a*b=c, a*c=b, b*c=a. Alle Gruppen, welche aus selbstinversen Elementen bestehen, sind kommutativ (abelsch). An welcher Stelle begegnet uns ein Dreinegationenverband in unserem Bewußtsein?

An der schon betrachteten! Bei a, b, c handelt es sich um Ausgangspunkt, Weg, Endpunkt. Wann immer unser Denken zwei derselben erfäßt, geht es zu ihrer drittem über. Wie gesagt treten die oben angeführten Abfolgen von wahrnehmen, wollen und tun nicht (linear-)zeitlich auf, sondern in ihrem Planungsprozeß, genauer gesagt gilt (linear-)zeitlich:

• empfangen
  
  1. Ausgangspunkt: wahrnehmen
  2. Weg: wollen
  3. Endpunkt: tun
     
• verfolgen
  
  1. Ausgangspunkt: wollen
  2. Weg: tun
  3. Endpunkt: wahrnehmen
     
• studieren
  
  1. Ausgangspunkt: tun
  2. Weg: wahrnehmen
  3. Endpunkt: wollen
     
• beholfen sein
  
  1. Ausgangspunkt: wahrnehmen
  2. Endpunkt: tun
  3. Weg: wollen
     
• betroffen sein
  
  1. Ausgangspunkt: tun
  2. Endpunkt: wollen
  3. Weg: wahrnehmen
     
• bedrängt sein
  
  1. Ausgangspunkt: wollen
  2. Endpunkt: wahrnehmen
  3. Weg: tun
     

Bei der Aktion gilt Ausgangspunkt*Weg=Endpunkt, die Richtung ist stets agierend und die Phase hängt von der betrachteten Aktion ab. Bei der Reaktion gilt Ausgangspunkt*Endpunkt=Weg, die Richtung ist stets reagierend und die Phase hängt von der betrachteten Reaktion ab. Die Gruppenstruktur von S₃ wird bei dieser Verknüpfung nicht benutzt, aber sie zeigt sich in den Zuordnungen von wahrnehmen, wollen und tun zu ihren Betrachtungsschritten.

Der Übergang Endpunkt*Weg=Ausgangspunkt ist wie gesagt ein langfristiger Lernerfolg der Reaktion: das Auffinden der Ausgangspunkte, von welchen sich die angenehmsten vorbestimmten Endpunkte am annehmlichsten erreichen lassen.