Gleichartige Verhältnisse mit Eintaucheindrücken, Gruppen und logische Gesetze

Ich werde in diesem Beitrag der Frage nachgehen, was der Ursprung unserer Einsicht in allgemeine Sachverhalte ist.

Ein zwischen zwei Eindrücken gleicher Art bestehendes Verhältnis heiße gleichartig, wenn es erstens selbst ebenfalls von dieser Art ist, und es sich zweitens nicht ändert, wenn die beiden Eindrücke durch ihre Verhältnisse zu einem dritten Eindruck ersetzt werden, und.derjenige Eindruck, zu welchem die Verhältnisse in dem Verhältnis stehen, welches sie sind, heiße Eintaucheindruck.

Diese Definitionen bilden die philosophische Deutung einer algebraischen Gruppe. b-a=c sei die Notation dafür, daß b zu a im Verhältnis c steht. a heiße Ausgangseindruck, b Aufbaueindruck und c das Füllverhältnis. Die Gruppenverknüpfung sei in kanonischer Weise definiert, nämlich c+a=b. Betrachten wir also die Assoziativität, wobei b-a=d, c-a=e und c-b=f gelte. Somit ist f+(d+a)=c. Und umgekehrt gilt (f+d)+a=c genau dann, wenn f+d=e gilt, und das wiederum führt auf (c-a)-(b-a)=(c-b). Das Verhältnis, welches zwischen zwei gleichen Eindrücken besteht, ist das neutrale Element 0 der Gruppe. Es ist identisch mit dem Eintaucheindruck e, für welchen a-e=a gilt, denn wenn es irgendeinen Eindruck e gibt, für welchen dies gilt, so muß er 0 sein, da 0-e=0 und e-e=0. Das Rechtsinverse zu a wird durch 0-a gegeben, da (a-a)-(0-a)=a, und also a+(0-a)=0.

Beispiele für gleichartige Verhältnisse mit Eintaucheindrücken sind:

• die Entfernung mit dem Eintaucheindruck hier,
• die Unterscheidung mit dem Eintaucheindruck gleich und
• die Abweichung zweier Mengen von einander mit dem Eintaucheindruck Leere.
  

Die Entfernung liefert die additive Gruppe des Vektorraums R³. Die Unterscheidung besteht aus

• gleich-gleich=gleich
• gleich-verschieden=verschieden
• verschieden-gleich=verschieden
• verschieden-verschieden=gleich,
  

und ist also isomorph zur additiven Gruppe von Z₂. Und im Falle der Abweichung zweier Teilmengen einer endlichen Menge mit n Elementen von einander ist die Gruppe isomorph zu Z₂ⁿ.

Kommen wir also zur Logik. Unter einem Kriterium verstehe ich einen Begriff, dessen Entsprechung zu einem Geschehen führt, und unter einem Restkriterium den jeweiligen Begriff, welcher nicht zum nämlichen Geschehen führt. Entspringt beispielsweise aus einem Ausgangseindruck und einem Aufbaueindruck ein Füllverhältnis, so läßt sich diese Verfolgung eines Verhältnisses zu seiner Einlösung umkehren, also zu Ausgangseindruck, Aufbauverhältnis und Fülleindruck, und Ausgangseindruck und Aufbauverhältnis bilden also ein potentielles Kriterium, zum Beispiel 5 Meter geradeaus von hier.

Kriterien können Mengen bilden, und diese Mengen lassen sich wiederum zu Kriterien aggregieren, nämlich indem es entweder genügt, daß ein Kriterium der Menge erfüllt wird, oder indem alle erfüllt werden müssen. Im ersteren Fall reden wir von der Disjunktion von (logischen) Möglichkeiten und im letzteren von der Konjunktion von (logischen) Notwendigkeiten.

Wenn wir sagen, daß ein Eindruck ein Kriterium erfüllt, oder auch nicht erfüllt, so ist das eine Aussage. Doch wenn wir sagen, daß alle Eindrücke, oder auch wenigstens einer, welche ein Kriterium erfüllen, ein anderes erfüllen, oder auch nicht erfüllen, so möchte ich das eine Behauptung nennen. Sehe ich beispielsweise des Nachts eine Maus, so ist Diese Maus ist nachtaktiv. eine Aussage, doch Alle Mäuse sind nachtaktiv. wird stets eine Behauptung bleiben.

Das erste Kriterium einer Behauptung heiße ihr Auswahlkriterium, das andere ihr Aussagekriterium, und wenn das Aussagekriterium für alle ausgewählten Fälle gelten soll, so sprechen wir von der Konjunktion, und wenn es für wenigstens einen gelten soll, so von der Disjunktion der Fälle. Werden die Fälle konjungiert, so nennen wir die Behauptung gesetzmäßig, werden sie disjungiert, so einwendend. Gesetzmäßige Behauptungen werden durch einzelne Fälle bestätigt oder widerlegt, einwendende bewiesen oder nicht tangiert. Wird zum selben Auswahlkriterium die Behauptung mit dem Restkriterium des Aussagekriteriums gebildet und der entgegengesetzten Gesetzmäßigkeit, so ist die gebildete Behauptung die Gegenbehauptung der ursprünglichen, wird nur die Gesetzmäßigkeit entgegengesetzt, so entweder die allgemeine oder die spezielle Behauptung derselben, und wenn nur das Restkriterium des Aussagekriteriums gebildet wird, so heiße sie ihre Alternativbehauptung.

Wenn ein Kriterium über einer Auswahl

• stets erfüllt wird, so gilt es mit Notwendigkeit,
• stets unerfüllt bleibt, so unmöglich,
• wenigstens einmal erfüllt wird, so möglicherweise und
• wenigstens einmal unerfüllt bleibt, so ohne Notwendigkeit,
  

wiewohl sich das im Falle von Gesetzen normalerweise nur glauben läßt, und wenn es

• mit Notwendigkeit gilt, so das Restkriterium unmöglich,
• unmöglich gilt, so das Restkriterium mit Notwendigkeit,
• möglicherweise gilt, so das Restkriterium ohne Notwendigkeit und
• ohne Notwendigkeit gilt, so das Restkriterium möglicherweise.
  

Die Quelle unserer Einsichten in logische Gesetze nun ist die Tatsache, daß Kriterien, welchen Fülleindrücke auf die im vorigen beschriebene Weise entsprechen, oftmals unabhängig vom Ausgangseindruck sind, also wenn ich etwa sage, daß für jeden Ort gilt, daß ein 10 Meter nördlich von ihm liegender Ort weiter von ihm entfernt ist als ein 5 Meter nördlich von ihm liegender, so stütze ich mich schlicht darauf, daß das Verhältnis von ersterem zu letzterem stets 5 Meter nördlich ist und damit ersterer weiter nördlich liegt.

Entsprechend vergewissern wir uns, daß, wenn ein Ton höher als ein zweiter ist und dieser als ein dritter, dann auch der erste höher als der dritte ist, wobei die Tonhöhen selbst aber keine gleichartigen Verhältnisse sind, sondern lediglich mit solchen identifiziert werden, wie alle Quantitäten, welche noch stets eindimensional räumlich gedacht werden, also als entgegengesetzte Richtungen (um beliebige Größen betrachten zu können, muß indes auch die Skalierung durch reelle Zahlen größer als Null hinzugezogen werden, also das Vielfachheitsverhältnis mit Eintaucheindruck einfach).

Ein anderes Beispiel aus der Logik ist das Gesetz, daß, wenn eine Teilmenge einer Menge aus zwei Elementen nicht leer ist und das erste Element nicht in ihr liegt, dann das zweite Element notwendig in ihr liegt, ohne welches es unmöglich wäre zu verstehen, daß, wenn Mäuse nachaktiv sind und dies eine Maus ist, dann dies auch nachtaktiv ist, da dieses der Disjunktion nicht Maus oder nachtaktiv entspricht, welche als notwendig angenommen wird, um dann nicht Maus durch Maus auszuschließen und bei nachaktiv zu verbleiben. Hier betrachten wir Z₂² und (1,1)-(1,0)=(0,1), um zu erkennen, daß das Ganze stets durch das Zweite vom Ersten abweicht.