Ursache und Wirkung

In diesem Beitrag stelle ich eine Theorie der Ursache und Wirkung vor, gebe also ein mathematisches Modell für die Fälle an, in welchen man von Ursache und Wirkung spricht.

Ursache und Wirkung beziehen sich offenbar auf die Zeit, wir werden also bei der Modellierung Gebrauch von ihr machen.

Wir betrachten Objektfunktionen f_R->Q über einem statischen Raum R in einen Zustandsraum Q und von diesen wieder dynamische Familien (f_R->Q)_t.

Über den Objektfunktionen betrachten wir weiterhin Objektklassen k, welche den Wert 1 annehmen, wenn eine Objektfunktion in die nämliche Klasse fällt, und andernfalls den Wert 0.

Zwischen den Objektfunktionen einer Objektklasse k betrachten wir darüberhinaus eine n-stellige Relation X_k, welche gerade jene n-Tupel von Objektfunktionen enthält, deren (Ko)-Existenz als unmöglich betrachtet wird.

Beispiele. Die Objektfunktionen mögen starre Körper modellieren, dann sind jene Paare unmöglich, in welchen sich zwei starre Körper überlappen. Die Objektfunktionen mögen die Ausdehnung und Temperatur von Wasser modellieren. Dann sind jene Objektfunktionen unmöglich, in welchen die Temperatur unter 0°C oder über 100°C liegt.

Als nächstes betrachen wir Veränderungsklassen a über den (f_R->Q)_t. Und wenn n-Tupel mit den Komponenten f_{R->Q, i} aus Veränderungsklassen a_i mit t->t₀ gegen ein Tupel aus X_k konvergieren, wozu der Raum der Objektfunktionen selbstverständlich mit einer wie auch immer gearteten Topologie versehen sein muß, so nennen wir den Familienfilter, den von den Familienschwänzen erzeugten Filter, der n-Tupel (f_R->Q)_{t, i}.die Ursache (des Verlassens der Veränderungsklassen a_i jenseits von t₀*) und jedes ab t₀ gültige n-Tupel von Veränderungsklassen b_i ihre Wirkung.

Beispiele. Der Zusammenstoß ist also die Ursache der Richtungsänderung, beziehungsweise der neu eingeschlagenen Richtung, die Verdrängung die Ursache des Ansteigens des Wasserspiegels und die Erhitzung die Ursache des Kochens.

Zusammenfassend kann man natürlich auch schlicht sagen, daß wir immer dann von einer Ursache sprechen, wenn eine beibehaltene Veränderung auf einen unmöglichen Zustand hinausliefe, womit Wirkungen im Normalfall mit Rekategorisierungen der Dynamik zusammenfallen.

* Bei ungeeigneter Wahl der Veränderungsklassen werden sie selbstverständlich nicht verlassen, aber ich halte es nicht für zwingend geboten, dies formal einzufordern, da der Mensch sich darüber kaum jemals große Gedanken macht und doch recht elementare Veränderungsklassen verwendet, wie beispielsweise weiter in einer bestimmten Richtung oder heißer bei stehendem Wasser.