Ein konstruktivistischer Blick auf die formalistische Mengenlehre

Es gibt eine Zusammenfassung des Nichts {}.

Zu jeder Zusammenfassung S läßt sich ein sie erweiternder, ihr fremder Gegenstand a_S bilden.

Zu beliebigen endlich vielen Gegenständen g₁,...,g_n läßt sich ihre Zusammenfassung {g₁,...,g_n} bilden.

Zu in einer Zusammenfassung S zusammengefaßten Zusammenfassungen S_i läßt sich ihre Verallgemeinerung S_V=V(S_i) bilden, welche ihre Umfänge vereinigt.

Die Belassung, welche bei einem Gegenstand verweilt, sei pro forma eine Bildung.

Die blinde Ersetzung, welche unabhängig vom vorliegenden Gegenstand einen bestimmten Gegenstand aufgreift, sei pro forma eine Bildung.

Die Verknüpfung zweier Bildungen ist eine Bildung.

Zu jeder Bildung p, welche sich erneut auf den gebildeten Gegenstand p(g) anwenden läßt, läßt sich die Zusammenfassung der sukzessiv gebildeten Gegenstände {p(g),p²(g),p³(g),...} bilden. Insbesondere ergeben sich die natürlichen Zahlen ausgehend von {} aus der Bildung, welche zunächst zu S a_S bildet, dann {a_S}, dann {S,{a_S}} und dann die Verallgemeinerung V(S,{a_S}).

Zu beliebigen endlich vielen unterschiedlichen Gegenständen g₁,...,g_n und ebenso vielen beliebigen Gegenständen h₁,...,h_n läßt sich die Zuordnung f(g_i)=h_i bilden.

Zu jedem Paar (p,S) derart, daß sich die Bildung p auf alle Gegenstände der Zusammenfassung S anwenden läßt, läßt sich die Zuordnung f_(p,S) bilden, so daß f_(p,S)(g)=p(g) für alle g aus S gilt.

Zu jedem Paar Zusammenfassungen S₁, S₂ läßt sich die Zusammenfassung S_f:S1->S2 aller Zuordnungen f bilden, welche jedem Gegenstand aus S₁ einen Gegenstand aus S₂ zuordnen.

Zu jeder Zusammenfassung S und jeder Bedingung c läßt sich die Zusammenfassung S_c={g aus S | g erfüllt c} bilden.

Zu jeder Zuordnung f läßt sich die Zusammenfassung S_f der zugeordneten Gegenstände bilden. Insbesondere erhalten wir so die Zusammenfassung P(S) der verstärkten Zusammenfassungen einer Zusammenfassung S, indem wir zunächst S_f:S->{0,1} betrachten, anschließend zu jedem f die Bedingung c_f : f(x)=1 bilden und mit ihrer Hilfe S_cf, und da sich diese Bildung auf alle f anwenden läßt, läßt sich die Zuordnung Träger:S_f:S->{0,1}->S bilden und schließlich S_Träger=P(S).

Zu jeder nicht-eitlen Zusammenfassung S (eine solche, welche wenigstens einen Gegenstand betrifft) läßt sich ein Gegenstand e_S aus S bilden. Insbesondere läßt sich dann auch zu jedem Gegenstand g und jeder Zuordnung f, welche ihm etwas zuordnet, der zugeordnete Gegenstand f(g) bilden, indem zuerst die Zusammenfassung S_f gebildet wird, dann {h aus S_f | h=f(g)} und dann e_{{h aus Sf | h=f(g)}}. Aus dieser Bildung wiederum folgt dann unter anderem, daß sich zwei Zuordnungen f₁, f₂ verknüpfen lassen, wenn die zweite auf das Bild der ersten angewendet werden kann: Wir bilden zunächst zu g f₁(g), dann dazu f₂(f₁(g)) und anschließend die Zuordnung zu der Bildung. Auch können wir zu jeder Zuordnung f:S₁->S₂, welche nur nicht-eitle Zusammenfassungen zuordnet, eine sie konkretisierende Zuordnung f*:S₁->(S₂)_V bilden, so daß f*(g) für alle g aus S₁ aus f(g) ist, indem wir zuerst zu g f(g) bilden, dann dazu e_f(g) und schließlich wiederum die Zuordnung zur Bildung.

Das sollte reichen. In jedem Falle kein schlechtes Resultat für vier Stunden Muße, welche an die Einsicht anknüpften, daß es um die Beschreibung unseres gedanklichen Zuordnens geht. Wenn diese Axiome nicht über Zermelo-Fraenkel hinausgehen, habe ich indes noch etwas übersehen.

Post Scriptum vom 7. Juli 2021. Bildungen sind Gegenstände, und das von Gegenständen Gesagte gilt auch von ihnen. Insbesondere lassen sich die Zusammenfassungen von sukzessiv gebildeten Bildungen bilden.