In Ansicht der Diskriminante der p-ten über den ganzen Zahlen algebraisch unabhängigen Einheitswurzeln

In dem eher blinden Bemühen, Resultat und Methode der Beiträge Kleiner Erzeugersatz und Algebra in Geometrie und Zahlentheorie zu verallgemeinern, habe ich die Diskriminante D(x^p-1+x^p-2+...+1) in Augenschein genommen.

Ein bißchen konkrete Rechnerei führt auf die Vermutung, daß ihr Wert p^p-2 beträgt, falls p = 1 mod 4 ist und -p^p-2, falls p = 3 mod 4.

Da die Diskriminante in Z[ζ₁, ..., ζ_p-1], ζ_i die über Z algebraisch unabhängigen Einheitswurzeln, quadratisch ist, folgte wiederum, daß (-) p in Z_q, q = 1 mod p, quadratisch ist.

Auch wenn ich die kleine Übung, deren Anfang ich im Beitrag Euler und Gauß also beschrieben habe, gerne zu Ende bringen würde, was durch den Beweis der vorigen Aussage natürlich noch nicht geschehen ist, bin ich doch nicht so bekloppt, die folgende Vermutung, welche bei der Berechnung der Diskriminante auftritt, zu beweisen, denn für das quadratische Reziprozitätsgesetz ist sie unerheblich.

ζ_1/16(1-ζ₁)...(1-ζ_(p-1)/2) = s(1)ζ₁+...+s(p-1)ζ_p-1, s(i) = i^(p-1)/2 mod p, |s(i)| < 2

Ich habe s Signum genannt, Neukirch, welcher die Diskriminante im Index führt und qua Diskriminante auf Seite 52 zum Reziprozitätsgesetz, welches der Arsch weder unter Reziprozitätsgesetz noch quadratisches Reziprozitätsgesetz aufgelistet hat, sondern nur als Gauß'sches Reziprozitätsgesetz, nennt es Legendre Symbol.

Der Witz ist, daß die rechte Seite der Gleichung die (p-2)-te Wurzel des vermuteten Wertes der Diskriminante ergibt, wenn man sie quadriert, und dieses Quadrat vermochte ich dann doch auszurechnen.

Offensichtlich gilt (s(1)ζ₁+...+s(p-1)ζ_p-1)² =

Σ_{k+l=1 mod p} s(kl)ζ₁+...+Σ_{k+l=p-1 mod p} s(kl)ζ_p-1+Σ_{k+l=0 mod p} s(kl)

und zwei Dinge dazu

1. Σ ζ_i ist die elementar symmetrische Funktion, aus welcher sich der Koeffizient von x^p-2 des Polynoms, dessen Diskriminante zu berechnen ich mich weigere, ergibt, also Σ ζ_i = -1 und
2. der letzte Summand Σ_{k+l=0 mod p} s(kl) ist bekannt, er ergibt p-1, falls -1 in Z_p quadratisch ist, also p = 1 mod 4, und -(p-1), falls p = 3 mod 4.

Damit die ersten Summanden zusammenaddiert ebenfalls in Z liegen können, müssen die betrachteten Signum-Summen alle denselben Wert ergeben.

Nun, es gilt k = i-l mod p und (i-l)l = -l²+il = -(l-i/2)²+i²/4 mod p.

Wir können die Parabel rechts um i/2 in Z_p nach links verschieben, dort horizontal um den Faktor i/2 stauchen und anschließend wiederum dort vertikal um den Faktor i²/4 stauchen. Das Ergebnis ist -l²+1 mod p und somit gilt

Σ_{k+l=i mod p} s(kl) = Σ_l=0,...,p-1 s(-l²+1) für alle i,

da die Transpositionen lediglich die Reihenfolge der Summanden ändern, s(0)=0 ist und s(ab)=s(a)s(b) und s(a²)=1.

Falls p = 1 mod 4 ist, ändert sich die Summe nicht, wenn wir die Parabel mit -1 multiplizieren, also l²-1 betrachten, ist hingegen p = 3 mod 4, so müssen wir ihren Wert ebenfalls mit -1 multiplizieren, wenn wir zu ihr übergehen. Damit also bleibt zu zeigen, daß

Σ_l=0,...,p-1 s(l²-1) = -1 für alle p>2.

Offensichtlich übersteigt der Betrag des Wertes dieser Summe p-2 nicht, da zwei Summanden in ihr 0 sind. Also genügt es zu zeigen, daß sie in Z_p -1 ergibt.

Zu diesem Zweck erinnern wir uns kurz daran, daß es stets ein Polynom S_n gibt, dessen Werte S_n(y) durch die Summe der Werte des Monoms xⁿ über 1 bis einschließlich y gegeben ist, also S_n(y) = Σ_x=1,...,y xⁿ.

Es handelt sich dabei um das Polynoms des n+1-ten Grades, welches die folgenden beiden Bedingungen erfüllt.

1. S_n(0) = 0
2. S_n(x) = S_n(x-1) + xⁿ

Die zweite Bedingung macht, daß bei der Berechnung der Koeffizienten von S_n durch Teiler von (n+1)! geteilt werden muß. Glücklicherweise ist das aber auch möglich in Z_p, so lange n < p-1. Für n=0 kriegen wir allerdings die falsche Summe, da die richtige von 0 anfängt zu addieren, und nicht von 1. Lassen wir diese beiden Exponenten also einstweilen außenvor und beschränken uns auf die Exponenten von 1 bis p-2.

Welchen Wert besitzt das summierende Polynom S_n, n=1,...,p-2, an der Stelle -1? Nun, es verschwindet dort offensichtlich aufgrund der beiden Bedingungen, welche es definieren, also können wir sämtliche Monome dieser Exponenten vergessen, wenn wir über (x²-1)^(p-1)/2 in Z_p summieren.

Die Summe über die Konstanten verschwindet auch, weil wir sie p Mal addieren, es bleibt also nur die Summe über x^p-1 zu betrachten, und diese Summe ergibt -1, da x^p-1 = 1 für alle x außer 0. Q.E.D.

Ich hasse die Zahlentheorie: Stetes Vertun durch wechselnde algebraische Bereiche, aufwendige Visualisationen, welche keine Ansatzpunkte liefern, mickrige Fürze, welche einen schließlich weiterbringen. Aber vielleicht liegt ja gerade in dieser Unnahbarkeit die Schönheit ihrer Gesetzmäßigkeiten begründet, ähnlich wie bei Edelsteinen und -metallen, welche ja auch nicht leicht zu haben sind. Dennoch, ein Leben lang dergleichen zu betreiben, ist Folter, nicht weniger schlimm als die im Bergbau, wie könnte man sich ihr aussetzen, ohne zu verwracken.

Nachtrag.  Ich war heute mal wieder in der Kirche, nach langer Zeit. Ich möchte zwei Dinge aus diesem Gedankenkreis festhalten.

1. Wein ist deshalb das Blut Christi, weil aus den überschüssigen Trauben, also dem, was das Leben mehr besitzt, als was die Welt aufbraucht, der Geist, der Spiritus, erwächst.
2. Die Tonsur, man sieht das auf den Bildern nicht, aber ich habe eine alte Mönchsstatue (gut, es ist Petrus, aber er sieht wie ein Mönch aus) im Museum von Kuressaare (Arensburg) gefunden, läßt lediglich vorne einen Haarbogen übrig. Die Idee dahinter ist, daß die Haare das Haupt herrlicher schmücken als ein Diadem.

Wiewohl dem christlichen Glauben der Glaube an die Krücke, das technische Hilfsmittel, innewohnt, gab es doch auch einen Glauben, welcher als Gegengewicht dazu den Menschen selbst zum Ausgangspunkt aller irdischen Macht machte, beziehungsweise zum Tor, durch welche diese Welt mit Gott kommuniziert.

Wertempfinden

Schönheit, Wesentlichkeit und Mächtigkeit sind die Qualifikationen der Geschicke, in ihnen beurteilt unser Wertempfinden unsere, möglicherweise lediglich vorgestellte, Lage vor dem Hintergrund unserer Bestürztheit, also in wiefern sie ein Leben in Beklommenheit, Besessenheit oder Betretenheit zuläßt.

Schönheit bedeutet Ausgeglichenheit, und es ist diese Ausgeglichenheit gegensätzlicher Kräfte, welche es begünstigt, nach Wegen zu suchen, sich einmal auf die eine und einandermal auf die andere zu stützen, um etwaig auftretende Ungleichgewichte, welche sich in Beklommenheit nicht verhindern lassen, zu beheben.

Schönheit ist die Voraussetzung aller Werke und sollte darum auch ihr Ziel sein, andernfalls sich der gestaltende Wille selbst aufhöbe, indem er sich in ein anderes Geschick brächte, was er freilich irgendwann stets tut: Der Mensch ist nicht fähig, die Schönheit selbst zu erschaffen, welche er zu finden im Stande ist.

Wesentlichkeit bedeutet Teilnahme an der Entwicklung des Lebens, und es ist diese Teilnahme, welche es einzig rechtfertigt, sich dem Ungewissen auszuliefern, was in Besessenheit die einzig verbliebene Möglichkeit ist.

Wesentlichkeit ist die Voraussetzung aller Wunder, und so lange die Wunder den Menschen nicht aus seiner Besessenheit erhoben haben, ändert sich sein Geschick nicht.

Mächtigkeit bedeutet Bestand in Widrigkeiten, und es ist dieser Bestand, welcher es einzig erlaubt, auf etwas aufzubauen, wie es die Betretenheit gebietet.

Mächtigkeit ist die Voraussetzung aller Wacht, und wenn sie nicht auch ihr Ziel ist, verfehlt letztere ihres, denn was für eine Wacht ist es, welche den Bestand des Bewachten aus den Augen verliert? Und genau das tut sie, wenn sie nur den Aufbau bewacht, und nicht auch die Grundlage. Allerdings, wo der Mensch die Grundlage ist, muß die Wacht schließlich scheitern, denn die Natur des Menschen treibt zur Veränderung der Verhältnisse, und vielleicht tut es die Natur auch ganz allgemein.

Fassen wir zusammen.

• Das Schöne ist das Enthusiasmus Werte,
• das Wesentliche ist das Opfer Werte und
• das Mächtige ist das Vertrauen Werte.

Schatten

Ist ein Bewußtsein, das voller Schatten ist, nicht selbst schattenhaft?

Was kann ein Mensch von seiner Existenz erwarten?

Gäbe es irgendwo auch etwas Bleibendes, wir könnten es nicht sehen.

Flüchtige Berührungen höchstens sind uns einstweilen verstattet.

Die Hoffnung aber ist, daß durch sie unsere Existenz selbst bleibender wird.

On the English Civil War

Although trivial in its dynamics, the English Civil War has some rather interesting aspects.

In the old day it was considerably more important than today that people had no way to escape their trade, since many trades were hard, but necessary. However, lack of social mobility brings it with itself that any power, which arises from an administrative function, lies with the executor of that function and thus forms an obstacle to the concentration of power.

Taking a broader view here, one might also say that it takes more than one man to reduce a people to serfdom, unless of course you had autonomous fighting robots, which were however not available to Charles I.

So the King of England relied on the co-operation of the gentry, who, to put it in Anthony Quinn's words, served him for “its pleasure”, or, looking at this now more closely, at least increasingly so.

For this we need a little context. Military might, the power to destroy, of which the king is supposed to be the head, is only one of the three fundamental forms of might. The other two are financial might, the power to build, and ideological might, the power to direct.

The Catholic Church let king run their respective countries - as long as they stayed the general course. In case one took a wrong turn, the Catholic Church could do two things to rectify the situation:

1. put pressure on the Jews to move capital out of the country (economical sanction)
2. support other military leaders in open war against the king of the country (military sanction).

Of course, a good king did get the support of the church, that is it used its ideological power to direct the people to support the king, in case the king was really good it even went so far as to occasionally grant the privilege not to host Jews in a city of his, or two.

And this did of course constitute a thundercloud over the pleasure of the gentry: any overly hedonistic conduct on its part could be answered by an open revolt of the unwashed masses against it, Catholic Church so willing.

Regarding this however, a correction must be made and its outcome considered. I said that the Catholic Church let king run their respective countries, but this is not entirely true, since there is an area in Europe in which the Catholic Church botched the job, namely in the former Holy Roman Empire. If you want to nitpick, there were also two areas that the Catholic Church ran directly, namely Livonia and the Papal States, but the historical significance of that seems lesser.

In Germany and Northern Italy the Catholic Church first allowed a political union of different princes and then the deterioration of the situation by the re-iterated breaking-up of their principalities. The situation was not like in France or England, since there were only local dynasties in the Holy Roman Empire, who chose the head of state, that is “The King is dead, long live The King!” was never heard within its borders.

Differently put, the Catholic Church forgot to put a central controller in. And because of this the situation in Germany had become towards the Pope, what it had later become towards Charles I, that is German princes started to increasingly consider their pleasure vis-à-vis the Pope.

The fault lies with that the Catholic control scheme requires a minimum size of the countries concerned, sufficient meat to cut from, if you so will.

If you have like 30 countries not much larger than the church bell of the main church of the country can be heard, which are in close economic co-operation with each other, it becomes difficult to stage a coup against a prince for lack of neglected regions or to move capital far enough away from him by putting pressure on the Jews in his country only.

The result was the same as in the English Civil War as well, the man in the middle found himself deserted. Only that this meant the birth of Protestantism in Germany.

And by the time of the English Civil War Protestantism had already grown into an international force, not least because of the Dutch Revolt. And it was precisely this, which thinned the thundercloud over the pleasure of the English gentry, except in some backwards provinces like Ireland.

There's nothing more to say about the historical part of it, but let us consider two philosophical points.

The first is a paradox of oppression. Rigid oppression limits concentration of power, because of the need for cohesion amongst the oppressors, flexible oppression (as far as its target group is concerned) can outsource the actual oppression and thus be much more directed. Setting an objective turns into a conference, devising an office (which is sufficiently open to contenders) into a concert.

The second point concerns the advantage that the English gained as a result of making the king formally accountable to the gentry, until other powers (the United States, France, Prussia) overtook Britain by installing bureaucracies in its place, which is of course what all the equal rights are about, that is employing the first point we've considered here.

The English King had already cut ties with the Catholic Church, so the advantage the English gained in the English Civil War was not greater independence from Rome. The advantage was primarily a moral one. By being formally acknowledged, the English gentry started to concern itself more with the future of the possible developments that Britain might undergo. The result was that one stratum of society started to take full charge of its life, dragging the king along as opposed to being dragged along by the king.

The thing to really learn from this is that life allows true happiness only during the course of taking one step. The next step will already be cumbersome again, unless you learn how to forget about the previous one.

Die Wahrnehmung der geistigen Horizonte

Ich möchte in diesem Beitrag darlegen, auf welche Weisen ein Mensch Zugang zum Sinn seines Lebens erlangen kann.

Jeder solche Zugang besteht in einer Einsicht, welche unser Wollen betrifft. Wollen ist ein impressiver Eindruck, welchen wir von einer Absicht vor dem Hintergrund einer bestimmten Lage, in welcher wir uns befinden oder es uns auch nur vorstellen, haben. Es zieht uns zur Tat, und die Tat befriedigt es.

Wir verstehen dies auf folgende Weise. Taten im eigentlichen Sinne sind Spannungen, von welchen wir Eindrücke haben. Diese Eindrücke sind Teil unserer Absichten, und nachdem wir in Spannung geraten sind, die Spannung also wahrnehmen, nehmen wir zugleich mit ihr ein Gefühl der Verantwortlichkeit für sie vor dem Hintergrund der Absicht war. Dieses Verhältnis bedeutet für uns, daß wir es waren, welche uns angespannt haben. Nehmen wir eine Spannung ohne das Gefühl der Verantwortlichkeit wahr, so sprechen wir hingegen von einem Reflex.

Hier und im folgenden mag stets auch ein Nicht vorgeschaltet werden, das heißt, auch der Wunsch, etwas zu vermeiden, ist ein Wollen, auch dafür, etwas nicht getan zu haben, können wir uns verantwortlich fühlen, auch eine Entspannung ist eine Tat.

Die Einsicht, daß wir durch unser Tun unser Wollen befriedigen, führt uns auf das Studium der uns möglichen Anspannungen, und dieses bildet den körperlichen geistigen Horizont. Nota bene, daß die transzendenten Akte zwar Anspannungen entspringen, sich aber nicht in ihnen vollziehen, das heißt, daß die Vorbereitung eines transzendenten Aktes innerhalb des körperlichen geistigen Horizonts liegt, er selbst aber eine Transposition der Spannung in einen anderen Eindruck ist, welcher außerhalb des körperlichen geistigen Horizonts liegt, nämlich den der Erwartung, für welche wir uns im Falle eines tranzendenten Aktes, und auch nur in seinem Fall, verantwortlich fühlen.

Spannungen sind dabei aber nicht nur, der Benennung des körperlichen geistigen Horizontes ungeachtet, körperlicher Art, sondern beim Aufgreifen, beispielsweise, handelt es sich auch um eine Spannung, von welcher wir aber stets denselben Eindruck haben, unabhängig davon, was wir aufgreifem, und auch unabhängig davon, wieviel.

Was die Vielheiten betrifft, um dies an dieser Stelle nachzutragen, denn in den logischen Wahrnehmungen und in den Formen der Bekanntheit habe ich dies übergangen, besteht die Notwendigkeit der Bildung der Vielheit in einem Raum, in welchem die einzelnen Teile zu einander in kategorischen Verhältnissen stehen können. Indes, dadurch, daß wir das Auftreten von anschaulichen Eindrücken logisch erfassen, bilden sich zu ihnen in Beziehung stehende Eindrücke des Auftretens im logischen Raum, welche zu einander im kategorischen Verhältnis des Zusammenfallens stehen. Wir können auf diese Weise also auch Vielheiten heterogener Dinge, wie akkustischer und visueller Eindrücke, bilden, aber nur indirekt als Vielheit von Dingen, welche aufgetreten sind, und nicht direkt in einer Anschauung, denn in der direkten Anschauung verschmelzen heterogene Eindrücke sich gegenseitig ergänzend zu erweiterten Eindrücken, also, mathematisch gesehen, zu ihrem (cartesischen) Produkt und nicht ihrer (direkten) Summe.

Kommen wir zur zweiten Einsicht in unser Wollen, jene, welche sowohl den persönlichen als auch den philosophischen geistigen Horizont begründet, nämlich der Einsicht, daß unser Wollen nicht nur durch Taten befriedigt, sondern auch durch Vorsätze geordnet wird, wobei die Summe unserer Vorsätze unsere Haltung ist.

Beruhen tut dies auf dem Gefühl des Sollens, welches sich auf eine entfernte Absicht, also eine solche, welche Merkmale aufweist, welche wir gegenwärtig nicht verantworten können, bezieht. Der Ursprung dieses Gefühls ist nicht immer klar zu bestimmen, aber insbesondere bildet es sich, nachdem wir eingesehen haben, daß wir etwas in einer bestimmten Lage, welche uns als eine zukünftig mögliche erscheint, wollen, was gleichbedeutend damit ist, uns in dieser Lage für dieses etwas zu entscheiden.

Entscheiden tun wir uns auch dann, wenn wir gegenwärtig zur Tat schreiten können, aber die Kombination der Einsicht des Gewollten mit dem Gefühl des Sollens (wir sollen, was wir wollen, und wir wollen auch wieder, was wir sollen), ergibt den Vorsatz. Und wenn wir dies studieren, so bemerken wir bald, daß wir dadurch, daß wir unsere Vorsätze bewußt überprüfen, viel inneren Widerstreit, großes Ringen unseres Wollens mit sich selbst, vermeiden können, und indem wir das tun, erwächst uns unsere Persönlichkeit.

Konkret besteht unser Wollen aus Lust, Leid, Mahnungen und Regungen und unser Sollen aus Erschöpfung, Ahnungen und Stimmungen.

Kommen wir also zur dritten Einsicht in unser Wollen, nämlich daß es wie alles andere auch beschlossen ist, und daß also zwischen ihm und dem anderen Beschlossenen beschlossene Gesetze herrschen müssen.

Wir verstehen dies durch unsere Erwartung, und das Studium unserer Erwartung, soweit sie die Lage unseres Wollens betrifft, ist das Geschäft des gläubigen geistigen Horizonts. Unser Wollen kann also nicht nur befriedigt und geordnet werden, sondern auch eingeschätzt.

Meine Einschätzung meines Willens ist die folgende: Er ist nicht schwerer als die Erde, aber edlerer Natur, und wo er es erfordert, macht sie ihm Platz. Ich bin dabei nicht bsonderes, das ist die allgemeine menschliche Lage:

Sehet die Vögel unter dem Himmel an: sie säen nicht, sie ernten nicht, sie sammeln nicht in die Scheunen; und euer himmlischer Vater nährt sie doch. Seid ihr denn nicht viel mehr denn sie? 

Es gibt aber Grenzen dieses Platzmachens, welche darauf beruhen, daß wir einerseits gewachsen und andererseits würdig sind, siehe die sieben Feuer des Gerichts.

Das Würdige in uns ist dem Gedeihen verpflichtet, das Gewachsene ist unser Wollen. Es gelten folgende vier Gesetze.

1. Wer sich als Wollen versteht, wird dafür, daß er Gedeihen spenden will, vernichtet werden.
2. Wer sich als Gedeihensspender versteht, wird dafür, daß er nach den Launen seines Wollens bittet, vernichtet werden.
3. Wer seine göttliche Natur leugnet, verliert seine Würdigkeit, insbesondere seine Ergebenheit, seine Achtung und seine Verwurzeltheit.
4. Wer seine menschliche Natur leugnet, verliert seine Gewachsenheit, insbesondere seinen Stolz, seine Freude und seine Genugtuung.

Die Gnade der Autorität

Der Umsorgte ist offen und hofft zu gewinnen,
der Umstellte verschlossen und hofft zu behaupten.
Eine Gesellschaft, in welcher die Zurechtweisung nicht tätig ist, erstarrt.

Ius naturale

Die Verletzung der Lust, der Verlust des Charakters der Herausforderung, die fehlende Notwendigkeit zur Anpassung, sowie die fehlende Möglichkeit zur Bewährung, die Verletzung der Achtung, der Verlust des Charakters der Verehrung, die fehlenden Leitsterne, sowie der fehlende Gemeinsinn, die Verletzung der Sorge, der Verlust des Charakters des Rechten, die fehlenden Gefahren, sowie die fehlende Aussicht.

Gott hat den Menschen für einen bestimmten Horizont erschaffen, und er läßt sich nicht verpflanzen.

Das hindert den Amerikanismus und seine mythischen Bastarde, Nationalsozialismus, Zionismus und Wahhabismus, gleich ihm alle Spuren der Geschichte tilgend, nur unter Berufung auf eine mythische Vorgeschichte, welche sie nicht verstehen, nicht, ihr Werk zu tun. Aber es begrenzt die Lebensdauer ihres Werks.

Aldous Huxley's Brave New World ist schon überholt, es bleiben realistischerweise nur zwei Szenarien, den Folgen der künstlichen Intelligenz zu entgehen, wiewohl beide das Manko teilen, technisch anspruchsvoller als Exekutionsroboter zu sein, nämlich

1. die Sinne der Menschen zu kapern und sie in einer künstlichen Realität vegetieren zu lassen und
2. destruktive Handlungen eines bestimmten Ausmaßes durch lückenlose Überwachung und ein auf sie gestütztes verteilt laufendes Warnprogramm rechtzeitig aufzudecken.

Letzteres ist das beste, was sich vernünftigerweise angesichts der heraufziehenden Bedrohung durch menschlicher Intelligenz überlegene Programme machen läßt, wiewohl es nicht gesagt ist, daß sich die rechtzeitige Aufdeckung verschleierter destruktiver Absichten hinreichenden Ausmaßes unter realistischen Voraussetzungen garantieren läßt; jede Abweichung von der absoluten Lückenlosigkeit bei der Überwachung birgt jedenfalls die Gefahr des Scheiterns des Warnprogramms in sich.

Einiges heute zielt auch in diese Richtung, die Bereitschaft der Menschen sich durchleuchten zu lassen bei gleichzeitiger Ablehnung einer zentralen Stelle, welche es tut, beispielsweise, was auch nur vernünftig ist, denn nur dann ist die Überwachung sicher, wenn das Warnprogramm verteilt abläuft, denn nur so kann die Mehrheit der Menschen sicherstellen, auch von ihm gewarnt zu werden, und die Voraussetzung dafür ist, daß die Ergebnisse der lückenlosen Überwachung öffentlich zugänglich sind.

Dies wäre das logische Ende des Denkens der letzten 2000 Jahre, der Betrachtung des Menschen als Störfaktor, welchen es auszuschalten gilt. Aber es ist ein hypothetisches Ende, hypothetisch sowohl in seinem Zustandekommen als auch in seinem Bestand.

Nietzsche sprach davon, daß es vorangig sei zu lernen, die Wahrheit zu sagen und mit Pfeil und Bogen umzugehen. Ich möchte sagen, daß es vorrangig ist, ein gottgefälliges Leben zu lieben und Gott zu vertrauen.

Ein Mensch muß lernen, die Bedingungen seines Gedeihens zu verstehen, denn von alleine fragt er nicht danach. Wenn man ihm das aber beigebracht hat, kann sich seine Natur ungehindert entfalten. Das verbürgt Gott von seiner Schöpfung.

Chimären

Was ist eine Beschreibung?

Etwas, das etwas anderes beschreibt, also etwas an ihm festhält, was es auszeichnet. Und ausgezeichnet werden Dinge dadurch, daß sie in spezifischen kategorischen Verhältnissen zu anderen Dingen stehen oder auch nicht stehen.

Was passiert hier? Jemand behauptet folgendes.

1. Eine Beschreibung wird dadurch ausgezeichnet, daß sie, wenn man sie auf irgendein Ding bezieht, dieses Ding entweder beschreibt oder nicht beschreibt, nämlich abhänhgig davon, ob die festgehaltene Auszeichnung dieses Ding auszeichnet oder nicht auszeichnet.
2. Ein bestimmtes Ding nicht zu beschreiben ist also eine Beschreibung von Beschreibungen und insbesondere ist es eine Beschreibung von Beschreibungen, wenn wir sagen, daß eine Beschreibung sich selbst nicht beschreibt, also nicht selbst in den Verhältnissen steht, welche sie als Auszeichnung der von ihr beschriebenen Dinge festhält.

Bezieht man letztere Beschreibung auf sich selbst, fragt also, ob sich als Beschreibung nicht selbst zu beschreiben, sich als Beschreibung selbst beschreibt oder nicht, so stößt man, unabhängig davon, wie man diese Frage beantwortet, auf ein Paradox, genauer gesagt auf das Russell'sche Paradox.

Aber dafür gibt es einen Grund, und zwar das Fehlen desselben. Es ist nämlich so:

Nicht eher steht eine Beschreibung in dem Verhältnis des Beschreibens (Zutreffens) oder Nicht-Beschreibens (Widersprechens) zu einem Gegenstand, auf welchen man sie bezieht, bevor nicht dieser Gegenstand selbst im von der Beschreibung festgehaltenen spezifischen kategorischen Verhältnis oder in dem dessen (erwartungsbildenden*) Ausbleibens steht.

Im vorliegenden Fall kommt es also nicht dazu, weil das erstgenannte die Voraussetzung für das letztgenannte ist.

Dies ist einerseits ein sehr spezieller Fehler, aber es zeigt sich doch etwas Allgemeines an ihm.

Es mag uns in unserem Denken unterlaufen, Dingen Eigenschaften zuzuschreiben, welche sie nicht besitzen.

Ich möchte dieses Phänomen als Chimärenbildung bezeichnen.

Es gibt mehrere solcher Beispiele, Chimären volkstümlicher Verbreitung.

• Die Vorstellung, daß Beschreibungen in existentieller Hinsicht unabhängig vom Beschriebenen seien.
• Die Vorstellung, daß etwas anzunehmen, ein Modus der subjektiven Stellung zur Objektivität sei**, vergleichbar der, es zu erwarten (an es zu glauben), wohingegen es nichts weiter als der erste Schritt bei der Ermittlung seiner Konsequenzen ist, wie es in den Begriffen setzen, unterstellen und engl. suppose weit richtiger zum Ausdruck kommt.
• Die Vorstellung, daß etwas Unendliches objektiv gegeben sei, wohingegen unsere Wahrnehmung immer nur Endliches erfaßt (auch wenn es impressiv geschieht).

Chimären müssen aber nicht auf Widersprüche führen, und im Falle von unendlichen Mengen entspringen sie nichts weiter als unserem Wunsch, unter gewohnten Umständen zu operieren, das heißt, wir begleiten Beschreibungen mit so genannten Mengen, welche chimärische Verallgemeinerungen von Vielheiten sind und in unserem Denken die Rolle von Wegmarkierungen spielen.

Jede Begründung der Verwendung von Mengen muß also auf die Harmlosigkeit dieses Tuns im gewählten Rahmen gerichtet sein.

* Ein spezieller Fall dieser Erwartungsbildung ist der Nachweis eines Gegenteils, also daß etwas nicht rot erscheinen wird, weil es bereits grün erscheint, oder eine Beschreibung etwas nicht beschreibt, weil ein Gegenteil der von ihr festgehaltenen Auszeichnung es auszeichnet. Diese Methode möge alternativische Versicherung heißen.

** wie es etwa Immanuel Kant vertreten hat, ausgehend natürlich von der Grammatik, das heißt dem Konjunktiv.

Vom nöt'gen Geleit

Man darf die Menschen,
welche alles für angeboten halten,
nicht von allem kosten lassen,
ohne einen Preis dafür zu bezahlen,
oder der Brunnen der Fürsorge versandet,
und an die Stelle des Geschenks tritt der Überfall.

Der Teufel sollte ein Einflüsterer hinter den Mauern der Stadt bleiben,
welcher seine Opfer zu sich hinaus zieht,
als Zauberkünstler auf ihren Plätzen zu gastieren, muß man ihm wehren,
oder schon bald hält er die Bürger am Strick des Mißtrauens
und würgt sie von einer Torheit zur nächsten,
immer auf den größten Hohn bedacht,
denn was sonst hat Torheit Weisheit zu sagen?

Die gefallene Welt, in welche Jesus trat, lag in den Fesseln der Wacht,
und er lehrte Vertrauen, um sie zu lockern.
Da die Christen nun gänzlich frei von ihnen wurden,
haben sie die Grundlage dieses Vertrauens zerrüttet
und müssen ihre Stadt neu gründen,
auf einen neuen Fels, auf eine erneuerte Herrlichkeit.

So fern der Heimat heim?

Manchmal scheint es, als müsse man das Räderwerk der Natur überbrücken,
um in den Schein zu gelangen,
der Sicherheit, der Bedeutung und des Einverständnis',
welcher den Menschen vor aller Zeit versprochen wurde.

Gewiß sind wir nicht so arm,
wie wir es erfahren,
es uns gar beweisen,
nicht bis zum Grund hat sich die Seele ergossen.

Und manchmmal weicht alle Last -
und das Versprechen scheint möglich.

Alles ist nach seiner Art, an ihr wirst du nichts ändern!

Eltern, welche sich darauf verlegen, ihren Kindern zeigen zu wollen, wie weit sie kommen, ohne sich gegen das Mögliche abzusichern, werden Kindern begegnen, welche sich darauf verlegen, ihren Eltern zeigen zu wollen, wie weit sie kommen, ohne ein offenes Ohr für gute Zurede zu finden.

Formen der Bekanntheit

Wie wir im vorigen Beitrag gesehen haben, führt das Aufgreifen eines Gegenstandes zur Beschäftigung mit ihm und somit zur Erfassung des Verhältnisses, in welchem er zur Referenz, aus welcher heraus er aufgegriffen wurde, steht.

Natürlich vereinfacht diese Darstellung die Sachlage etwas, denn auf diese Weise könnten wir noch nicht einmal erfassen, daß etwas vor einem Gegenstand, aber zugleich hinter einem anderen steht. Offenbar können wir einen aufgegriffenen Gegenstand halten, während wir parallel zu ihm einen anderen, ihn enthaltenden aufgreifen, welchen wir als zusätzliche Referenz verwenden können, indem wir den gehaltenen Gegenstand verdoppelt erneut aus ihm heraus aufgreifen. Und auf diese Weise können wir alle möglichen Eigenschaften des aufgegriffenen Gegenstandes erfassen.

Was somit passiert, ist die Schöpfung von Spezifizität aus Identität. Anfangs ist uns der Gegenstand nur ein Das, aber dieses Das verwandelt sich zusehends in ein Jenes, welches, bis der Aufgriff irgendwann endet und der Gegenstand seine Identität verliert und nur noch ein Spezifisches, ein Jenes, welches unter vielen aus einstigen Beobachtungen herstammenden Spezifischen ist.

Um Mißverständnissen aus dem Weg zu gehen, der Gegenstand ändert sich mit dem Ende seines Aufgreifens nicht, er ist weiterhin ein anschaulicher Eindruck, eine der Wahrnehmung entspringende Form, aber die Form seiner Bekanntheit ändert sich. Er besaß Identität und besitzt fortan nur noch Spezifizität neben seiner Anschaulichkeit.

Die Identität des Aufgreifens ist aber nicht die einzige, über ihr steht die Identität des Wahrnehmens, denn Das mag auch die Leere sein, welche die Wahrnehmung füllt, also unsere Empfänglichkeit. Wenn man so will, ist diese ein Aufgreifen, welches wir nie beenden, das heißt unser Leben, und die Aufgriffe von Gegenständen sind Verästelungen dieser Empfänglichkeit. Die logischen Erfassungen sind dann das In Beziehung Bringen des Astes zum Stamm, wobei auch mehrere Bezüge zur selben Zeit bestehen können, ein Gegenstand mag in einer Vorstellung auftreten, aber nicht im visuell Wahrgenommenen. Ich hatte das zuvor nicht erwähnt, und es liest sich ziemlich wild, ist aber letztlich eine einfache und natürliche Notwendigkeit der Einheit der Wahrnehmung.

Während ein Gegenstand aufgegriffen wird, mag er sich natürlich ändern, ein Vogel mag auf einem Ast sitzen und singen, dann auffliegen und sich auf einen anderen Ast setzen. Was bedeutet das für die Erfassung seiner Eigenschaften? Sollen wir sagen: Er sitzt, nein, er fliegt, nein, er sitzt!? Nein, das sollten wir nicht, der Gegenstand ist auch gar kein Körper, sondern ein bewegter Körper, das ist schließlich auch unser anschaulicher Eindruck: der, eines bewegten Körpers. Hier ist es also so, daß sich während des Aufgreifens nicht nur die Erfassung des Gegenstandes ändert, sondern auch der Gegenstand selbst. Die Erfassung aber ändert sich auch in diesem Fall nur in dem Sinne, daß sie umfangreicher wird, und nicht in dem Sinne, daß etwas einmal Erfaßtes revidiert werden müßte.

Wenn wir etwas sich in Bewegung Befindendes erfassen, so erfassen wir mit jeder Erfassung zu einer bestimmten Zeit zugleich ihr zeitliches Verhältnis zu den anderen bereits erfaßten Verhältnissen zu vorigen Zeiten. Also eben: Zuerst sitzt der Vogel, dann fliegt er und dann sitzt er wieder. und nicht: Der Vogel sitzt, nein, er fliegt, nein, er sitzt.

Diese Protokollierung der zeitlichen Verhältnisse möchte ich auch die Ausbreitung der Zeit nennen.

Ein wichtiger Spezialfall des Erfassens eines bewegten Gegenstandes ist die Erfassung eines Handlungsstranges, wobei bewegt dafür vielleicht nicht ganz das richtige Wort ist, sich fortbildend wäre sicherlich besser, und für das hiesige Studium der Grundlagen unseres Denkens ist vor allem sukzessives Aufgreifen von Interesse.

Sukzessives Aufgreifen bedeutet, einen Gegenstand aufzugreifen, und dann einen anderen zu ihm, und dann wieder einen anderen zu ihnen und so weiter. Wesentlich dabei ist, daß es uns auf diese Weise, und auch nur auf diese Weise, gelingt, eine Menge von Identitäten in einer übergeordneten Identität zusammenzufassen, deren Gegenstand vollständig dadurch bestimmt ist, daß er die Gegenstände der untergeordneten Identitäten enthält. Der übergeordnete Gegenstand heiße eine Vielheit, und das sukzessive Aufgreifen zu einer sich fortbildenden Vielheit heiße Zusammenkommen.

Im Gegensatz zum Vogelflug interessiert uns beim Zusammenkommen freilich nur die abschließende Vielheit, und nichts hindert uns, lediglich sie aufzugreifen und ihr Verhältnis zu ihren Teilen zu erfassen und uns fortan an das so Spezifizierte zu erinnern.

Bei einer derart spezifizierten Vielheit handelt es sich, wenn weiter nichts erfaßt wurde, um eine verschlüsselte Spezifierung. Ein Gegenstand heiße verschlüsselt spezifiziert, wenn es möglich ist, durch Vorstellung dieses Gegenstandes Verhältnisse zu erfassen, welche während seines spezifizierenden Aufgreifens nicht erfaßt wurden.

Verschlüsselte Spezifizierungen sind eher selten. Wenn wir etwas bei der ursprünglichen Betrachtung nicht erfaßt haben, dann können wir uns später auch nicht daran erinnern. Allerdings ist der Versuch, Eigenschaften bewußt zu erfassen, in aller Regel kontraproduktiv, denn dadurch unterdrücken wir die vielschichtige Erfassung, welche sich durch den empfänglichen Blick von alleine einstellt. Ein Maler, freilich, hat Zeit genug, so oft und genau das zu erfassen, was er will.

Was hingegen an der auf die entsprechende Weise erfaßten Vielheit verschlüsselt ist, ist die Zahl. Bei einer Zahl handelt es sich um eine Vielheit des Auftretens. Dazu ist zu sagen, daß wenn mehrere Teile in einem Ganzen auftreten, wie es bei einer Vielheit der Fall ist, jedes solche Verhältnis von einem Eindruck des Auftretens begleitet werden kann, Eindrücke, welche als ein und derselbe wiedererkannt werden können, aber dadurch, daß sie mit verschiedenen Gegenständen zusammenfallen, unterschiedlich spezifiziert werden und welche dabei auch eine anschauliche Vielheit bilden, wenn man sie sukzessiv aufgreift.

Diese Vielheit also ist die Zahl. Sie ist ein anschaulich eindeutiger Gegenstand durch die Empfindung entsprechend gehäuften Auftretens.

Mit anderen Worten ist sie durch ihre Anschaulichkeit bekannt, was technisch gesehen dasselbe wie Bekanntschaft durch Identität ist: In beiden Fällen verhilft uns die Bekanntschaft lediglich dazu, etwas wiederzuerkennen, im Falle der Anschauung als Form, im Falle der Identität als verästelt Wahrgenommenes. Jede vergleichende Form der Bekanntschaft beruht hingegen auf erfaßten Verhältnissen, also auf Spezifizität.

Post Scriptum vom 8.8.2015.

Anmerkung 1. Eine Vielheit wird stets in ihre Teile zerlegt erinnert, das heißt, die Verästelung der Empfänglichkeit stellt sich augenblicklich wieder ein. Ob dies aber irgendetwas besonderes ist, läßt sich nicht so ohne weiteres sagen, denn bei sonstigen Erinnerungen geschieht ähnliches, nur mühsamer. Ich erinnere mich an einen Verkaufsstand an der Außenmauer des Vatikans. Und ich erinnere mich an den Bürgersteig da. Aber das sind zwei verschiedene Erinnerungen, in meiner Erinnerung des Verkaufsstands fehlt der Bürgersteig und umgekehrt. Natürlich wird der Verkaufsstand da auf irgendetwas gestanden haben, und aufgrund seiner Nähe zur Mauer kommt nur der Bürgersteig in Frage. Also bin ich, wenn ich die Szene erinnern soll, natürlich geneigt, meine Einbildungskraft zu benutzen, um den Verkaufsstand auf den erinnerten Bürgersteig zu stellen. Mag also sein, daß dergleichen im Falle von Vielheiten aufgrund der geringeren Schwierigkeit unbewußt von selbst geschieht.

Anmerkung 2. Der Ursprung der logischen Erfassungen liegt in der Bewußtwerdung des eigenen Wahrnehmens (Ich nehme diese Form (nicht) wahr!) und jedesmal, wenn sich ein Ast unserer Empfänglichkeit durch einen Aufgriff oder eine Vorstellung schärft, mag dergleichen geschehen. In Verbindung bringen können wir den Eindruck der Erfassung aber nur mit dem anschaulichen Eindruck, vor dessen Hintergrund wir aufgreifen oder vorstellen, denn von der Identität des Astes haben wir keinen Eindruck. Identitäten bewirken nichts weiter als die Fähigkeit, sie während ihres Bestehens auseinanderhalten zu können.

Analytische und synthetische Wahrnehmungen oder die Untergliederung der Wahrnehmung

Das Sonnenlicht spielt durch den Blätterschirm und auf dem Weg leuchten Kieselsteine auf, erst dieser, dann jener, der Blick fängt an, von einem zum anderen zu springen, und der Betrachter bemerkt mit Erstaunen den Zauber einer die Gedanken belebenden Welt: Vor ihm liegen Spuren, vor ihn legen sich Spuren.

Bevor wir Dinge zu einander in Beziehung setzen können, müssen wir sie zunächst werden lassen. Wir tun dies durch einen Akt des Aufgreifens, des etwas auf eine bestimmte Weise Meinens, nämlich als ein Glied unserer Analyse, unserer Beschäftigung.

Genauer gesagt untergliedern wir die urpsrüngliche Wahrnehmung, wenn wir etwas aufgreifen. Der Rest wird zur Referenz und das Aufgegriffene zum zu sich zu diesem Rest Verhaltenden, womit es per Definitionem dasjenige ist, mit welchem wir uns beschäftigen, und in just diesem Sinne, also unserer Beschäftigung zugeführt zu werden, wird es von uns aufgegriffen.

Es gibt dabei zwei verschiedene Fälle:

• Das Verhältnis des Aufgegriffenen zur Referenz ist impressiv.
• Das Verhältnis des Aufgegriffenen zur Referenz ist kategorisch.

Wenn wir beispielsweise einen Zweig aufgreifen, so ist das Verhältnis zum Rest der Welt impressiv, genauer gesagt gibt es uns einen Eindruck von der Lage des Zweiges, seiner Ausdehnung, seiner Entfernung und der Richtung, in welcher er liegt. Greifen wir aber zunächst zwei Zweige auf, und dann einen von ihnen, so ist der andere der Rest und das Verhältnis ist kategorisch und sagt uns beispielsweise, daß der eine uns näher oder weiter von uns liegt als der andere, oder daß er größer oder kleiner ist als der andere.

Impressive Verhältnisse dienen ausschließlich dazu, unser Handeln unbewußt zu informieren, kategorische Verhältnisse indes erlauben ihre logische Erfassung, da die Eindrücke, in welchen sie sich ausdrücken, wiedererkennbar oder diskret, wenn man so will, Englisch distinct ginge auch, sind.

Nachdem wir dies hinreichend genau betrachtet hätten, richten wir unseren Blick auf das Vorstellen, denn in ihm zeigt sich ja auch eine Untergliederung unserer Wahrnehmung.

Der Unterschied zwischen Vorstellen und Aufgreifen ist dabei lediglich der, daß wir das Auftretende aufgreifen, wohingegen wir uns etwas Ausbleibendes vorstellen, oder es auch erinnern, diese Unterscheidung ist an dieser Stelle unwesentlich. Im ersteren Fall analysieren wir, im letzteren handelt es sich um eine Synthese. Die Verbindung beider Prozesse ist dabei auch möglich, das heißt, wir können etwas Aufgegriffenes und etwas Vorgestelltes zu einem Glied zusammenfassen und als Referenz für eine spezifischere Beschäftigung verwenden, beispielsweise wenn wir uns fragen, ob dies der größte Baum ist, welchen wir je gesehen haben. Möge dies der Vollständigkeit halber als synthetisches Aufgreifen benannt werden.

Wie nah Aufgreifen und Vorstellen einander in unserem Denken hingegen wirklich liegen, zeigt der Fall des nicht von einem abfallenden Traumes, wenn man also erwacht, die Welt um sich herum sieht, sich auch in ihr bewegen kann, aber sie weiterhin träumend verfremdet. Die Erfahrung ist schrecklich, Leute, welche sie künstlich durch Drogen herbeiführen, nicht bei Trost. Hätte ich sie jemals länger als ein paar Sekunden aushalten müssen, wäre ich an einem Herzinfark gestorben. Aber sie beweist, daß es wirklich nur der Unterschied der logischen Erfassung ist, auf welchem unsere Unterscheidung von Realität und Phantasie beruht. Übrigens, jetzt wo ich mich daran erinnere, ich hatte nicht nur Herzrasen, sondern auch eine Art logischer Kopfschmerzen, und ein Aufbäumen der unterdrückten logischen Erfassung beendete den Spuk dann auch.

Was die technische Seite des Zustandekommens der logischen Formen angeht, ist folgendes zu sagen.

Jeder Erfassung eines Auftretens geht ein Aufgreifen des Auftretenden voran. Die Referenz ist dabei nur eine andere, nicht der Rest einer visuellen oder akkustischen Wahrnehmung, sondern die Wahrnehmung des Wahrnehmens, also der eigenen Existenz, welche dem Auftreten seinen Sinn verleiht. Die logische Erfassung setzt also Selbstbewußtsein im Sinne des Bewußtseins des eigenen Wahrnehmens voraus. Beim Ausbleiben ist es nicht anders, nur daß dort eben eine Vorstellung vorangeht. Zusammenfallen und Begleitung ergeben sich parallel zu entsprechenden Erfassungen des Auftretens und Ausbleibens.

Von Selbstzucht zum Weltopfer

Ich hatte eine Zeit lang den Ansatz verfolgt, die menschliche Existenz auf ihre Bedingungen hin anzusehen, was mich auf Bedingtheit durch Funktionalität, Welt und eigene Verfassung geführt hatte, also daß einer durch das, was er nunmal tun kann, mit dem, mit wem er es nunmal tun kann, innerhalb der Grenzen, innerhalb welcher er es nunmal tun kann, bedingt sei.

Naheliegend wie der Ansatz ist, ist er doch beliebig. Er führt zwar über Funktionalität und Verfassung zu einer vollständigen Erschließung der menschlichen Existenz, soweit es den Einzelnen betrifft, aber die etwas willkürliche Abgrenzung der eigenen Verfassung von der Welt führt später im Bemühen sich das einmal Errungene zu bewahren zu inkonsistenten Verrenkungen.

Richtig lautet die Trinität nicht Funktionalität, Welt und Verfassung, sondern Verständnis, Einfluß und Niederschlag. Es zeichnet den Heimatlosen aus, daß sich sein einziger Niederschlag in seiner Verfassung zeigt. Sein Gebet, sein Ringen mit seiner Existenz, betrifft einzig seine Verfassung, und in seiner Verfassung liegt es auch, daß er nirgends heimisch ist.

Diese Einheit von Gebet und Verfassung gibt ihm Halt und Selbstvertrauen, aber sie steht seiner Beheimatung, der Geborgenheit seiner Taten in der Welt, im Wege. Denn wo das eigene Gebet der Entwicklung der Welt gilt, ist die eigene Verfassung nicht mehr Ausdruck der eigenen Glaubensstärke, sondern vielmehr die Bedingung, welche das allgemein wirksame Gesetz auferlegt, und Halt und Selbstvertrauen stammen vom weltlichen Niederschlag des Gebets.

Logische Wahrnehmungen

Unsere Wahrnehmung ist nicht teilbar, denn Wahrnehmung ist das Bewußtsein dessen, der wahrnimmt, und Bewußtsein ist die Gänze des jeweils Bewußten.

Folglich sind mit spezifischen Wahrnehmungen spezifische wahrgenommene Formen gemeint, und im besonderen mit logischen Wahrnehmungen logische Formen.

Es gibt zwei Arten logischer Formen, nämlich

• logische Erfassung und
• logische Ordnung.

Die logischen Erfassungen sind

• Auftreten,
• Ausbleiben und
• Zusammenfallen.

Die logische Ordnung ist

• Begleitung.

Bei letzterer nehmen wir an, daß eine Wahrnehmung zwangsläufig eine andere Wahrnehmung mit sich bringt, wie es beispielsweise bei Begriffen der Fall ist, welche diejenigen Wahrnehmungen, deren Verhältnis zu einander sie begreifen, begleiten.

Darüber, ob eine bestimmte logische Form eine Wahrnehmung beschreibt oder nicht, geben die Begriffe des Zutreffens und Widersprechens jeweils nach einer Einsicht Aufschluß oder, im Falle deren Ausbleibens, auch nicht.

Dazu ist allerdings anzumerken, daß die Einsichten in das dem Auftreten Widersprechen, in das Zutreffen des Ausbleibens und in das Zutreffen der Begleitung erwartungsabhängig sind, da wir nie Gewißheit darüber haben können, etwas nicht übersehen zu haben. Ob wir also zu diesen Einsichten gelangen oder nicht, hängt ausschlaggebend von dem Grad ab, zu welchem uns unsere diesbezüglichen Erfahrungen versichert oder verunsichert haben.

Die menschliche Starre im Angesicht von Zivilisationsbrüchen und -umbrüchen erklärt sich eben hieraus, und ein pessimistisches Menschenbild erscheint also als Bollwerk gesellschaftlicher Stabilität, wie es sich freilich auch in unzähligen empirischen Einzelfällen bestätigt: Wenn niemand mehr eine Antwort weiß, der grantelige Opa von nebenan hat bestimmt eine.

Es bleibt abschließend die Frage zu behandeln, ob die Erfassung des Ausbleibens nicht überflüssig ist und womöglich in unserem Denken gar nicht vorhanden.

Dazu möchte ich zwei Dinge zu bedenken geben.

Erstens, wenn ich denke: Es sind keine Frauen in der Männerumkleide, so nehme ich dabei nicht zum Zwecke der Widerlegung an, daß doch welche da wären. Ich muß mir zwar eine Frau in hinreichender Konkretion vorstellen, um diese Aussage zu bestätigen, aber ich stelle sie mir nicht in der Männerumkleide vor.

Zweitens, wenn wir ein Ausbleiben als das dem Auftreten Widersprechen auffaßten, so könnten wir die Frage nicht beantworten, wodurch das Ausbleiben dem Auftreten widerspricht, was nicht so ist, wie es sein sollte.

Wiederauferstehung

Allem voran geht die äußere Gestalt, die Bedingung für die Erfahrung, und erst dann kommt sie selbst.

Der Hungrige lebt in diesen Äußerlichkeiten, auf der Suche nach einer Erfahrung, welche ihn lehrt, was sein Leben ist.

Das Schale mahnt ihn, das Falsche warnt ihn, das Eig'ne ist der Rebe Stab.

Geleitet wird auch, wer noch sucht, doch seine Taten leben nicht.

Himmlische Geborgenheit des eig'nen Tuns ist's, was im Ewigen Leben liegt.

Und erst in dieser Geborgenheit wird die Erfahrung voll, zeigen sich die Streben allen Lebens.

Als Abendstern folgt er dem größeren Licht in die Nacht, als Morgenstern führt er es in den nächsten Tag.

Algebra in Geometrie und Zahlentheorie

Zunächst möchte ich mich mit der Frage beschäftigen, welche Maße ein Pentagon hat.

Die Lösungen des Polynoms x⁵-1 in C spannen ein Pentagon auf. Es genügt, den Realteil der beiden Paare zu einander inverser Wurzeln anzugeben, um das Pentagon zeichnen zu können.

Wir können die Nullstelle 1 aus dem obigen Polynom entfernen und erhalten (x⁵-1)/(x-1) = x⁴+x³+x²+x+1.

Sei r eine Nullstelle dieses Polynoms, dann ist r^-1 ebenfalls eine Nullstelle dieses Polynoms und es gilt (x-r)(x-r^-1) = x²-(r+r^-1)x+1.

Wenn wir dies für beide Wurzelpaare bilden und a, b die Koeffizienten des jeweils linearen Monoms bezeichnen, so erhalten wir (x²+ax+1)(x²+bx+1) = x⁴+x³+x²+x+1.

Diese Gleichung läßt sich aber nur dann lösen, wenn es sich bei a, b um (1(+/-)5^½)/2 handelt, denn nur dann ist a+b=1 und ab=-1.

Nun, -(1+5^½)/2 < 0 und -(1-5^½)/2 > 0, also ist der Realteil der beiden linken Ecken des Pentagons durch -(1+5^½)/4 gegeben und der Realteil der beiden rechteren durch (5^½-1)/4, womit wir die aufgegebene Frage beantwortet hätten.

Lustigerweise verläuft der Beweis eines Spezialfalls des quadratischen Reziprozitätsgesetzes ganz genauso, nämlich wenn wir beweisen wollen, daß 5 in Z_q für jede Primzahl q mit q = 1 mod 5 quadratisch ist, also Quadratwurzeln in Z_q besitzt.

Jedenfalls wissen wir für ein solches q, daß x⁴+x³+x²+x+1 in Z_q vier verschiedene Nullstellen besitzt, vergleiche den kleinen Erzeugersatz. Und da es sich auch hier um die fünften Einheitswurzeln außer 1 handelt, ist jedes Inverse einer Nullstelle selbst wieder eine Nullstelle des Polynoms, wobei in Z_p, p prim, nur 1 und -1 zu sich selbst invers sind, da n²-1=(n+1)(n-1), was nur dann ein Vielfaches von p ist, wenn n = 1, p-1.

Wir bilden also wieder die x²-(r+r^-1)x+1 und bemerken, daß r+r^-1 = -(1(+/-)5^½)/2. Also ist 5 in Z_q quadratisch.